Similitude (géométrie)
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En géométrie, une similitude est une transformation qui, à toute figure, fait correspondre une figure semblable, c'est-à-dire de même forme.
Ainsi, par une similitude, tout carré a pour image un carré, tout triangle équilatéral un triangle équilatéral, tout cercle a pour image un cercle, etc.
Les similitudes conservent donc les barycentres et les cercles. Réciproquement, toute transformation bijective du plan qui conserve les cercles est une similitude.
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[modifier] Équivalence essentielle et définitions
Pour toute transformation f du plan euclidien, les propositions suivantes sont équivalentes.
- f multiplie les distances par un réel strictement positif k ;
- f conserve les rapports de distances ;
- f conserve les angles géométriques (c'est-à-dire les mesures d'angles non orientés).
Une transformation du plan qui vérifie ces propositions est appelée une similitude du plan. Le nombre k est appelé le rapport de la similitude f.
Une similitude qui conserve les angles orientés est appelée similitude directe.
[modifier] Exemples
Les similitudes de rapport 1 sont appelées isométries (notamment les rotations, translations, réflexions).
Les homothéties sont des similitudes. Il faut noter l'ambiguïté du mot rapport : le rapport d'une homothétie concerne des vecteurs, celui d'une similitude les distances. Ainsi, une homothétie de rapport k est une similitude de rapport |k|.
[modifier] Étude par les points fixes
- Une similitude plane qui admet trois points fixes non alignés est l'identité du plan.
- Une similitude plane qui admet deux points fixes distincts A et B est soit l'identité du plan, soit la symétrie axiale d'axe (AB).
- Une similitude directe qui admet deux points fixes distincts est donc l'identité.
On peut donc classer les similitudes directes suivant le nombre de leurs points fixes :
- l'identité, pour laquelle tous les points du plan sont fixes ;
- les similitudes directes sans point fixe ;
- les similitudes directes avec un unique point fixe, qu'on appelle alors le centre de la similitude.
[modifier] Similitudes planes directes
Mises à part les translations, toute similitude plane directe peut être décomposée en une homothétie et en une rotation de même centre.
Une isométrie qui conserve les angles orientés est appelée déplacement.
[modifier] Forme complexe
Les calculs sont adaptés au plan complexe. La traduction d'une similitude directe s'y exprime par z' = az + b, où a et b sont des complexes, a non nul. Le rapport de la similitude est alors | a | , son angle arg(a).
Cas spéciaux :
- Dans le cas où a = 1, la similitude est une translation.
- Dans le cas où a = − 1, la similitude est une symétrie centrale de centre
. On peut aussi la considérer comme une rotation de centre et d'angle π, ou encore une homothétie de centre 
et de rapport k = − 1.
- Dans le cas où
, alors la similitude est une homothétie de centre 
et de rapport a.
[modifier] Définition par deux points et leurs images
Soient 
quatre points du plan tels que : 
et 
. Il existe une unique similitude directe S tel que 
et 
[modifier] Similitudes planes indirectes
Toute similitude non directe est la composée d'une similitude directe et d'une réflexion.
[modifier] Forme complexe
La traduction d'une similitude indirecte s'exprime par 
, où a et b sont complexes, a non nul.
[modifier] Le groupe des similitudes
La composée de deux similitudes f et g est une similitude, dont le rapport est le produit des rapports de f et g. Dans le cas de deux similitudes directes, on a : 
La transformation réciproque d'une similitude f est une similitude, de rapport : l'inverse du rapport de f. Pour une similitude directe, on a : 
.
L'ensemble des similitudes du plan, muni de la loi de composition est donc un groupe, dont deux sous-groupes sont : le groupe des similitudes directes et le groupe des isométries (dont un sous-groupe est le groupe des déplacements).
