Symétrie centrale

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La symétrie centrale est une transformation géométrique.

Elle se réalise à partir d'un point fixe noté Ω appelé centre de symétrie. Elle transforme tout point M en un point image M' tel que le point Ω soit le milieu du segment [MM'].

En termes de vecteurs, cela se traduit par :

$\overrightarrow{\Omega M'} = \overrightarrow{M \Omega}$

La symétrie centrale est un cas particulier de rotation : la symétrie de centre Ω est le demi-tour de centre Ω. Elle est une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois.

Propriétés de la symétrie centrale

Propriété de conservation

La symétrie centrale est une application affine, elle conserve :

• les alignements (les symétriques de trois points alignés sont alignés),
• le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles).

C'est même une isométrie, elle conserve :

• les distances,
• les angles (le symétrique d'un angle est un angle de même mesure),
• les périmètres (le symétrique d une figure est une figure de même périmètre),
• les aires (le symétrique d'une figure est une figure de même aire).

Exemples

• Si M = Ω alors M' = Ω
• Le symétrique d'un segment [AB] par rapport à un point Ω est un segment [ A'B' ] tel que AB = A' B' .
• Le symétrique d'une droite d par rapport à un point Ω est une droite d' qui est parallèle à d.
• Le symétrique d'un cercle C, ayant pour centre O et pour rayon r, par rapport à un point Ω est un cercle C' , ayant pour centre O' le symétrique de O par rapport à Ω et pour même rayon r.

Complexes et symétrie centrale

Dans les complexes, la symétrie centrale est modélisée par une rotation d'angle $\pi$.

Soit ω l'affixe de Ω et z l'affixe de M

On pourra calculer l'affixe z' de M' par la relation:

$\,z' = e^{i \pi} (z - \omega) + \omega$ c'est-à-dire $\,z' = -z + 2 \omega$

La construction du symétrique d'un point M par rapport à un point Ω

À la règle et au compas

• Placer le point Ω et le point M distinct de Ω.
• Tracer la droite (ΩM).
• Tracer l'arc de cercle de centre Ω et de rayon ΩM.
• Les deux points d'intersection entre l'arc de cercle et la droite sont le point M d'un côté et le point M' symétrique de M par rapport à Ω de l'autre.

Au compas seul

• Placer le point Ω et le point M distinct de Ω.
• Tracer l'arc de cercle de centre Ω et de rayon ΩM.
• Tracer l'arc de cercle de centre M et de rayon 2 x ΩΜ.
• Le point d'intersection entre les deux arc de cercle est le point M' symétrique de M.

Voir aussi

• Symétrie (transformation géométrique)
• Symétrie axiale
• Rotation