Carré latin

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Un carré latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies de n éléments distincts dont chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. La plupart du temps, les n éléments utilisés sont les entiers compris entre 0 et n-1.

Voici un exemple de carré latin : 
\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 & 3 \\
 1 & 2 & 3 & 0 \\
 2 & 3 & 0 & 1 \\
 3 & 0 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}

Histoire[modifier | modifier le code]

Ce jeu semble être une création du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783)[1], probablement inspiré par le carré magique indien. Qui inspira probablement en 1895 le « Carré magique diabolique » à l'origine du Sudoku.

En mathématiques[modifier | modifier le code]

En permutant deux lignes ou deux colonnes d'un carré latin, on obtient encore un carré latin.

À une bijection près sur les n éléments, et à des permutations près sur les lignes et les colonnes, il n'existe qu'un seul carré latin d'ordre 3

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/3Z; +)


\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 \\
 1 & 2 & 0 \\
 2 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\quad\quad

En revanche il existe deux carrés latins d'ordre 4 (si l'on ne tient pas compte des permutations ou des éventuelles bijections sur les n éléments) :

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/4Z; +)


\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 & 3 \\
 1 & 2 & 3 & 0 \\
 2 & 3 & 0 & 1 \\
 3 & 0 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}

Carré latin correspondant au groupe de Klein


\begin{bmatrix}
 0 & 1 & 2 & 3 \\
 1 & 0 & 3 & 2 \\
 2 & 3 & 0 & 1 \\
 3 & 2 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}

Les carrés latins sont les tables d'opérations de quasigroupes finis et ont un lien étroit avec les carrés magiques.

Héraldique[modifier | modifier le code]

Le carré latin apparaît dans le blason de la Société statistique du Canada[2] ainsi que dans le logo de la Société biométrique internationale (en)[3].

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Carrés latins et gréco-latins, un début vers les carrés magiques, sur villemin.gerard.free.fr