Carré latin

Un carré latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies de n éléments distincts dont chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. La plupart du temps, les n éléments utilisés sont les entiers compris entre 0 et n-1.

Voici un exemple de carré latin : $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Histoire

Ce jeu semble être une création du mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 - 1783), probablement inspiré par le carré magique indien. Qui inspira probablement en 1895 le « Carré magique diabolique » à l'origine du Sudoku.

En mathématiques

En permutant deux lignes ou deux colonnes d'un carré latin, on obtient encore un carré latin.

À une bijection près sur les n éléments, et à des permutations près sur les lignes et les colonnes, il n'existe qu'un seul carré latin d'ordre 3

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/3Z; +)

$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad\quad$

En revanche il existe deux carrés latins d'ordre 4 (si l'on ne tient pas compte des permutations ou des éventuelles bijections sur les n éléments) :

Carré latin correspondant au groupe cyclique (Z/4Z; +)	$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$
Carré latin correspondant au groupe de Klein	$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Les carrés latins sont les tables d'opérations de quasigroupes finis et ont un lien étroit avec les carrés magiques.

Voir aussi

Articles connexes

• Carré magique
• Carré gréco-latin - la combinaison de deux carrés latins orthogonaux
• Sudoku (jeu qui s'inspire des carrés latins)
• Échantillonnage par hypercube latin (en)

Lien externe

Carrés latins et gréco-latins, un début vers les carrés magiques, sur villemin.gerard.free.fr