Théorème de Descartes

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Cercles tangents. Soient trois cercles tangents entre eux (noirs), quel peut-être le rayon d'un quatrième cercle tangent à ceux-ci ? Il existe généralement deux réponses (cercles rouges). Les nombres sont les courbures des cercles.
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En géométrie, le théorème de Descartes, découvert par René Descartes, établit une relation entre quatre cercles tangents entre eux. Il peut être utilisé pour construire les cercles tangents à trois cercles donnés tangents deux à deux.

Histoire[modifier | modifier le code]

Les problèmes géométriques concernant des cercles tangents sont très anciens. En Grèce antique, 3 siècles avant Jésus-Christ, Apollonius de Perga a consacré un livre entier à ce sujet ; malheureusement ce livre, Les Contacts, a disparu. La construction d'un cercle tangent à trois cercles donnés (le plus difficile des problèmes qui figurait dans ce livre) est souvent appelé Problème d'Apollonius. Regiomontanus en a donné une solution algébrique au XVe siècle mais ne croyait pas possible l'existence d'une solution géométrique, François Viète en a proposé la restauration à Adrien Romain, qui en a donné une solution bâtie sur des intersections d'hyperboles. Cette joute est l'occasion pour Viète de montrer la supériorité de son algèbre nouvelle par la publication de Apollonius Gallus[1]. La grande finesse de Viète s'y montre à plein et Michel Chasles découvrira dans cet ouvrage les prémices de l'inversion plane.

René Descartes parle brièvement du problème en 1643, dans une lettre adressée à la princesse Élisabeth de Bohême[2]. Il a fourni essentiellement la même solution que celle donnée dans la formule ci-dessous, c'est pourquoi son nom a été donné au théorème. Emile Lemoine donne une solution géométrique du problème, minimale dans son système de mesure des constructions. Frederick Soddy a redécouvert la formule en 1936. Les cercles solutions de l'équation sont appelés cercles de Soddy. Ils sont parfois connus sous le nom de kissing circles, peut-être parce que Soddy a choisi d'éditer sa version du théorème sous forme de poésie intitulée The Kiss precise, qui a été imprimé dans Nature le 20 juin 1936. Soddy a également étendu le théorème aux sphères.

Définition de la courbure[modifier | modifier le code]

Le théorème de Descartes s'énonce plus simplement en utilisant la courbure du cercle. La courbure d'un cercle est définie par k = ±1/r, où r est son rayon. Plus le cercle est grand, plus sa courbure est petite, et vice versa.

Le signe plus dans k = ±1/r s'utilise pour un cercle qui est tangent extérieurement aux autres cercles, comme les trois cercles noirs dans la figure ci-dessus. Dans le cas d'un cercle tangent intérieurement, comme le grand cercle rouge dans la figure, le signe moins est utilisé.

Le théorème de Descartes[modifier | modifier le code]

Si quatre cercles tangents entre eux ont pour courbure ki (pour i = 1…4), le théorème de Descartes énonce:

(1)
(k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2\,(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2).

Cercles de Soddy[modifier | modifier le code]

Réécrite, l'équation nous donne la courbure des cercles tangents à trois cercles donnés tangents deux à deux :

(2)
k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_3k_1}.

Le signe ± indique qu'il existe deux cercles solutions : ce sont les cercles de Soddy.

Cas particulier[modifier | modifier le code]

Un des cercles est remplacé par une droite (courbure nulle) : le théorème de Descartes s'applique toujours.

Si un des trois cercles est remplacé par une droite, k3 (par exemple) est nulle. Ainsi l'équation (2), simplifiée, nous donne :

(3)
k_4=k_1+k_2\pm2\sqrt{k_1k_2}.

Le théorème de Descartes ne s'applique pas quand plus d'un cercle est remplacé par une droite. Le théorème ne s'applique pas non plus lorsque plus d'un cercle est tangent intérieurement, par exemple dans le cas de trois cercles imbriqués tangents en un point.

Théorème complexe de Descartes[modifier | modifier le code]

Afin de définir un cercle complètement, non seulement son rayon (ou sa courbure), mais aussi son centre doivent être connus. L'équation appropriée est plus claire si les coordonnées (x,  y) sont interprétées comme un nombre complexe z = x + iy. L'équation est alors similaire au théorème de Descartes et s'appelle le théorème complexe de Descartes.

Soient quatre cercles de courbure ki et de centre zi (pour i = 1…4), l'égalité suivante se tire de l'équation (1):

(4)
(k_1z_1+k_2z_2+k_3z_3+k_4z_4)^2=2\,(k_1^2z_1^2+k_2^2z_2^2+k_3^2z_3^2+k_4^2z_4^2).

Une fois k4 trouvée via l'équation (2), on peut calculer z4 en réécrivant l'équation (4) sous une forme semblable à l'équation (2). Encore une fois, il y aura en général deux solutions pour z4, correspondant aux deux solutions pour k4.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Anne Boyé, L'Apollonius gallus et le problème des trois cercles comme défense et illustration de la géométrie synthétique, thèse de doctorat (dir. Jean Dhombres), 1998 [présentation en ligne]
  2. Lettre de novembre 1643, sur wikisource

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]