Graphe hamiltonien

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Un cycle hamiltonien dans le graphe des arêtes du dodécaèdre. Comme tous les solides de Platon, le dodécaèdre est représenté par un graphe hamiltonien.

En mathématiques, dans le cadre de la théorie des graphes, un graphe hamiltonien est un graphe possédant au moins un cycle passant par tous les sommets une fois et une seule. Un tel cycle élémentaire est alors appelé cycle hamiltonien.

Un graphe hamiltonien ne doit pas être confondu avec un graphe eulérien, où l'on passe par toutes les arêtes une fois et une seule : dans un cycle hamiltonien, on peut très bien négliger de passer par certaines arêtes. Un graphe peut être eulérien, hamiltonien, les deux à la fois, ou aucun des deux : le graphe papillon est un exemple de graphe eulérien mais pas hamiltonien.

Un graphe hamiltonien peut contenir plusieurs cycles hamiltoniens : ainsi, le graphe de Chvátal a 12 sommets, 24 arêtes et 370 cycles hamiltoniens distincts.

On a démontré un certain nombre de conditions mathématiques, qui, si elles sont vérifiées, permettent d'assurer qu'un graphe est hamiltonien, ainsi que des conditions qui, si elles ne sont pas vérifiées, assurent qu'il ne l'est pas. On peut par ailleurs confier à des ordinateurs le soin de chercher des cycles hamiltoniens au moyen d'algorithmes que l'on a optimisés petit à petit. Dans les deux cas, le problème est NP-complet, donc par essence difficile à résoudre dans un temps raisonnable dans le cas général. Les graphes hamiltoniens sont un domaine de recherche actif à la fois en mathématiques et en informatique.

Origine[modifier | modifier le code]

Plateau de jeu pour le icosian game.

Les graphes hamiltoniens sont nommés d'après William Rowan Hamilton qui était astronome royal en Irlande, au milieu du XIXe siècle. Celui-ci a inventé un jeu qu'il a nommé icosian game, qui consiste à trouver un cycle hamiltonien dans le graphe des arêtes du dodécaèdre. Hamilton a résolu ce problème à l'aide d'un nouveau type de calculs qu'il a appelé le icosian calculus (en)[1],[2], et que l'on décrirait de nos jours par des calculs dans un certain groupe non commutatif. Cette solution ne se généralise malheureusement pas à un graphe arbitraire.

Bien que ces graphes soient nommés d'après Hamilton, les cycles hamiltoniens dans les polyèdres avaient déjà été étudiés un an plus tôt par Thomas Kirkman[3].

Définitions[modifier | modifier le code]

Graphe non-hamiltonien Graphe semi-hamiltonien Graphe hamiltonien
Non-hamiltonian.svg Semi-hamiltonian.svg Hamiltonian.svg

Les définitions ci-dessous se rapportent soit à des graphes non orientés, soit à des graphes orientés. Pour être rigoureux, il faudrait parler d'arcs, de chemins et de circuits dans le cas des graphes orientés, et d'arêtes, de chaînes et de cycles dans le cas des graphes non orientés.

Chaîne hamiltonienne
Une chaîne hamiltonienne est une chaîne qui passe une fois et une seule par chaque sommet du graphe.
Cycle hamiltonien
Un cycle hamiltonien est une chaîne hamiltonienne qui est cyclique.
On peut transformer un cycle hamiltonien en chaîne hamiltonienne, en enlevant une arête quelconque du cycle. En revanche, une chaîne hamiltonienne ne peut être étendu en un cycle hamiltonien que si ses extrémités sont adjacentes.
Graphe hamiltonien
Un graphe qui contient un cycle hamiltonien est appelé graphe hamiltonien.
Graphe semi-hamiltonien
Un graphe semi-hamiltonien est un graphe qui contient une chaîne hamiltonienne, mais pas de cycle hamiltonien.
Graphe hamiltonien-connexe
Un graphe est dit hamiltonien-connexe lorsque, pour toute paire de sommets du graphe, il existe une chaîne hamiltonienne entre ces sommets.
Décomposition hamiltonienne
Une décomposition hamiltonienne d'un graphe est une partition de l'ensemble de ses arêtes en cycles hamiltoniens.
Graphe hypohamiltonien
Un graphe hypohamiltonien est un graphe qui n'est pas hamiltonien, mais qui le devient lorsqu'on lui retire n'importe quel sommet.

Exemples[modifier | modifier le code]

Caractérisation d'un graphe hamiltonien[modifier | modifier le code]

Pour les graphes eulériens, on dispose d'une condition nécessaire et suffisante simple pour déterminer si le graphe est eulérien (le théorème d'Euler). On n'a malheureusement pas trouvé d'équivalent pour les graphes hamiltoniens.

On dispose néanmoins d'un certain nombre de critères, de plus en plus généraux, qui permettent d'assurer que tel ou tel graphe est hamiltonien[4]. C'est Gabriel Andrew Dirac qui ouvre le bal en 1952, avec l'idée intuitive qu'un graphe est forcément hamiltonien lorsqu'il possède « suffisamment d'arêtes ». La meilleure caractérisation d'après le degré des sommets à laquelle on soit arrivé à ce jour est celle du théorème de Bondy et de Chvátal de 1976.

D'autres théorèmes, comme celui de Ghouila-Houiri, sont des versions dans le cas des graphes orientés.

Théorème de Dirac[modifier | modifier le code]

Ce théorème est dû à Gabriel Andrew Dirac, en 1952[5]. Il s'énonce comme suit[6] :

Théorème — Un graphe simple à n sommets (n \ge 3) dont chaque sommet est au moins de degré \frac{n}{2} est hamiltonien.

Théorème de Ore[modifier | modifier le code]

Ce théorème est dû à Øystein Ore, en 1960[7]. Il s'énonce comme suit :

Théorème — Un graphe simple à n sommets (n \ge 3) tel que la somme des degrés de toute paire de sommets non adjacents vaut au moins n est hamiltonien.

Le théorème de Dirac est un cas particulier du théorème de Ore : en effet, si chaque sommet est de degré au moins \frac{n}{2}, alors la somme des degrés de n'importe quelle paire de sommets, adjacents ou pas, est au moins n.

Théorème de Pósa[modifier | modifier le code]

On doit à Lajos Pósa (en) plusieurs théorèmes sur les cycles hamiltoniens. On peut en particulier citer un théorème de 1962[9],[10] qui porte sur les sommets faiblement connectés :

Théorème — Un graphe simple à n sommets (n \ge 3) tel que :

  1. pour tout entier k tel que 1 \le k < \frac{n-1}{2} le nombre de sommets de degré inférieur ou égal à k est inférieur à k
  2. le nombre de sommets de degré inférieur ou égal à \frac{n-1}{2} est inférieur ou égal à \frac{n-1}{2}

est hamiltonien.

On remarque que la condition 2 est comprise dans la condition 1 quand n est pair, et n'a donc d'intérêt que lorsque n est impair.

Exemple d'application du théorème de Pósa.

Exemple d'application : le graphe ci-contre possède 6 sommets. Il est hamiltonien : les sommets ont été ordonnés de manière à mettre en évidence un cycle hamiltonien, c'est le cycle extérieur rouge H.

  • Le théorème de Dirac ne permet pas de prouver qu'il est hamiltonien. Pour cela, tous les sommets devraient au moins être de degré 3, or il y a un sommet de degré 2.
  • Le théorème de Ore n'est pas plus utile, car les sommets non adjacents a et b vérifient deg(a) + deg(b) = 3 + 2 = 5, or on devrait avoir au moins 6.
  • En revanche, le théorème de Pósa permet de déterminer que le graphe est hamiltonien, car il y a 0 sommet de degré 1 et 1 sommet de degré 2 : la condition 1 est remplie (0 < 1 et 0 + 1 < 2).

Théorème de Bondy et Chvátal[modifier | modifier le code]

S'inspirant du théorème de Ore, John Adrian Bondy et Václav Chvátal ont trouvé en 1976[11] une méthode pour déterminer si un graphe est hamiltonien : tant qu'il reste des sommets u et v non adjacents tels que deg(u) + deg(v) \ge n, on ajoute l'arête \{u, v\} au graphe. Quand on ne peut plus en ajouter, on a obtenu ce qu'on appelle la fermeture du graphe. On applique alors le théorème suivant :

Théorème — Un graphe est hamiltonien si et seulement si sa fermeture est hamiltonienne.

En particulier, si la fermeture d'un graphe est le graphe complet, qui est hamiltonien, on est sûr que le graphe de départ est hamiltonien.

Graphe de départ Étape intermédiaire Fermeture du
graphe de départ
House graph.svg House graph crossed.svg House graph complete.svg

Exemple d'application : considérons le graphe maison de la figure ci-contre. Il comprend 5 sommets.

  • Le théorème de Dirac ne peut pas être utilisé, car le graphe maison comprend des sommets de degré 2 < \frac{5}{2}.
  • Pas mieux pour le théorème de Ore, car il existe des paires de sommets non adjacents de degré 2, donc vérifiant 2 + 2 < 5.
  • Le théorème ne Pósa ne vient pas à la rescousse, car il y a trop de sommets de degré 2 (il y en a 3).
  • En revanche, le théorème de Bondy et Chvátal permet de montrer que le graphe maison est hamiltonien.

Pour s'en assurer, on ajoute d'abord les arêtes en rouge entre les sommets de degré 2 et les sommets de degré 3. On ajoute ensuite les arêtes en vert entre le sommet de degré 2 et les sommets qui viennent de passer en degré 3. On obtient le graphe complet K_5, qui est hamiltonien, ce qui prouve que le graphe de départ l'était aussi.

Cas des graphes orientés[modifier | modifier le code]

Alain Ghouila-Houri a énoncé en 1960[12] le théorème suivant, qui est l'équivalent du théorème de Dirac pour les graphes orientés :

Théorème — Un graphe orienté simple fortement connexe à n sommets dont chaque sommet est au moins de degré entrant \frac{n}{2} et de degré sortant \frac{n}{2} est hamiltonien.

Il y a deux théorèmes équivalents au théorème de Ore dans le cas des graphes orientés.

Douglas R. Woodall a énoncé en 1972[13] le théorème suivant :

Théorème — Un graphe orienté simple à n sommets tel que, pour toute paire u et v de sommets, soit il y a un arc de u en v, soit d^-(u) + d^+(v) \ge n, est hamiltonien.

M. Meyniel a énoncé en 1973[14] le théorème voisin suivant :

Théorème — Un graphe orienté simple fortement connexe à n sommets tel que la somme des degrés de toute paire de sommets non adjacents vaut au moins 2n-1 est hamiltonien.

Pourquoi ce n'est pas satisfaisant[modifier | modifier le code]

Le graphe de Wagner ne permet pas d'utiliser les théorèmes précédents.

Dans certains cas, on sait aussi démontrer qu'un graphe n'est pas hamiltonien. Ainsi, le théorème de Grindberg (en) donne une caractéristique respectée par tous les graphes planaires hamiltoniens. Si cette condition n'est pas respectée dans un graphe planaire, on sait qu'il n'est pas hamiltonien.

Malgré ces nombreux résultats partiels, dans de nombreux cas, on ne dispose pas d'outil mathématique efficace permettant de voir si un graphe donné est hamiltonien ou ne l'est pas. Ainsi, aucun des théorèmes précédents ne fournit de critère qui permettrait de déterminer automatiquement que le graphe de la figure ci-contre est hamiltonien, la somme des degrés de n'importe quelle paire de sommets valant toujours 6, ce qui est moins que le nombre de sommets 8.

Les résultats précédents s'axent tous sur des considérations liées aux degrés des sommets. Un autre axe de recherche est de chercher à savoir si certaines catégories de graphes sont hamiltoniennes ou non :

Problème du chemin hamiltonien[modifier | modifier le code]

Le problème du chemin hamiltonien consiste à :

  • trouver une chaîne hamiltonienne ou un cycle hamiltonien dans un graphe non orienté donné
  • ou à trouver un chemin hamiltonien ou un circuit hamiltonien dans un graphe orienté donné.

Tous ces problèmes sont NP-complets[15],[16], c'est-à-dire qu'on sait vérifier une éventuelle solution dans un temps polynomial en fonction du nombre n de sommets, mais que ce problème est au moins aussi difficile que d'autres problèmes NP-complets, ce qui est une forte indication que l'on ne saura probablement pas trouver cette solution dans un temps polynomial dans le cas général. Le problème de décision associé est de tester si un cycle ou une chaîne hamiltonienne existe.

Le problème du voyageur de commerce revient à chercher un cycle hamiltonien dans un graphe complet dont les arêtes sont pondérées, en ajoutant une contrainte : le poids de ce cycle doit être minimal.

La recherche de solutions est en général confiée à un ordinateur qui pourra par exemple tester toutes les chaînes jusqu'à trouver un cycle hamiltonien (dans le cas d'un algorithme très naïf). Cette technique n'est pas vraiment satisfaisante non plus, car les calculs peuvent être très longs dans le pire des cas. De plus, une fois trouvées ces chaînes, on ne comprend pas mieux ce qui rend un graphe hamiltonien ou non. Cette méthode permet néanmoins de résoudre des problèmes pratiques.

À cause de la difficulté à résoudre les problèmes de chaînes et de cycles hamiltoniens avec des ordinateurs conventionnels, on s'est également penché sur des modèles de calcul non conventionnels. Par exemple, Leonard Adleman a montré que le problème du chemin hamiltonien pouvait être résolu à l'aide d'un ordinateur à ADN.

Relation entre les problèmes[modifier | modifier le code]

On peut passer simplement du problème consistant à trouver une chaîne hamiltonienne à celui consistant à trouver un cycle hamiltonien et vice-versa.

D'une part, au lieu de chercher une chaîne hamiltonienne dans un graphe G, on peut créer un graphe H à partir de G en lui ajoutant un nouveau sommet que l'on relie à tous les sommets existants de G, puis chercher un cycle hamiltonien de H.

D'autre part, au lieu de chercher un cycle hamiltonien dans un graphe G, on peut choisir un de ses sommets u, puis, pour chacune des arêtes qui le relient à un voisin v, construire un graphe H à partir de G en remplaçant cette arête par une paire de nouveaux sommets de degré 1, l'un relié à u et l'autre relié à v, et enfin chercher une chaîne hamiltonienne de H.

On peut donc :

  • remplacer une recherche de chaîne hamiltonienne par une seule recherche de cycle hamiltonien ;
  • remplacer une recherche de cycle hamiltonien par au maximum n - 1 recherches de chaînes hamiltoniennes, n étant le nombre de sommets du graphe.

Algorithmes[modifier | modifier le code]

Recherche d'un chemin hamiltonien dans un graphe orienté en explorant les différentes possibilités[17].

Le pire algorithme de résolution du problème de recherche de chaîne hamiltonienne auquel on puisse penser consiste à prendre un des n sommets, puis à considérer les éventuelles arêtes vers les n - 1 sommets restants, et ainsi de suite. Cela donne n! chaînes possibles à tester : la factorielle de n augmentant très rapidement quand n augmente, on assiste à une explosion combinatoire et la recherche peut devenir très longue à partir d'un certain nombre n de sommets.

Un tel algorithme de recherche exhaustive exploitant la force de calcul de l'ordinateur peut être optimisé de plusieurs façons.

Ainsi, Frank Rubin met en avant une méthode de recherche[18] où l'on classe les arêtes du graphe en trois groupes : celles qui doivent être dans la chaîne, celles qui ne peuvent pas être dans la chaîne, et celles pour lesquelles on ne sait pas. Au fur et à mesure que la recherche avance, un ensemble de règles de décision classe les arêtes pour lesquelles on ne sait pas encore, et détermine si la recherche doit continuer ou doit s'arrêter. L'algorithme divise le graphe en composants qui peuvent être traités séparément.

Un algorithme qui est un cas de programmation dynamique et que l'on doit à Bellman, Held et Karp peut être utilisé pour résoudre le problème en une durée d'ordre O(n2 2n). Dans cette méthode, on détermine, pour chaque sous-ensemble S de sommets et chaque sommet v de S, s'il existe une chaîne couvrant exactement les sommets de S et se terminant en v. Pour chaque choix de S et de v, une chaîne existe pour (S, v) si et seulement si v a un sommet voisin w tel qu'une chaîne existe pour (S - \{v\}, w), ce que l'on peut vérifier dans les informations déjà calculées par le programme[19],[20].

Andreas Björklund a adopté une autre approche en exploitant le principe d'inclusion-exclusion pour ramener le problème du comptage des cycles hamiltoniens à un comptage des cycles recouvrants, lequel peut être résolu en calculant certains déterminants de matrices. Avec cette méthode, il a montré comment résoudre le problème du cycle hamiltonien dans un graphe à n sommets quelconque à l'aide d'une méthode de Monte-Carlo dans un délai d'ordre O(1,657n) ; dans le cas de graphes bipartis cet algorithme peut être amélioré pour répondre dans un délai d'ordre O(1,414n)[21].

Pour les graphes de degré maximal trois, une recherche avec retour sur trace soigneuse peut trouver un cycle hamiltonien (s'il existe) en une durée O(1,251n)[22].

Recherche d'un chemin hamiltonien par ordinateur à ADN[modifier | modifier le code]

Leonard Adleman[23],[24] a conçu et expérimenté avec succès en laboratoire une méthode de résolution de ce problème en partant d'ADN, ouvrant ainsi la voie à des recherches concernant un ordinateur à ADN.

L'idée est de représenter les arcs du graphe par des séquences d'ADN qui peuvent s'assembler linéairement quand elles ont une extrémité commune. Un polymère formé par ces séquences correspond donc à un chemin.

L'algorithme proposé par Adleman est le suivant :

  1. Générer un grand nombre de séquences, correspondant à des chemins aléatoires ;
  2. Filtrer (par exemple par la masse) pour ne garder que les chemins avec n sommets (où n est la taille du graphe) ;
  3. Filtrer pour ne garder que les chemins qui contiennent une fois chaque sommet ;
  4. S'il reste des séquences qui passent les deux filtres, le graphe a un chemin hamiltonien.

L'intérêt de cette méthode en comparaison avec les méthodes de résolution par un ordinateur classique est qu'elle est beaucoup moins coûteuse en temps. Cet algorithme exploite le parallélisme intrinsèque aux réactions chimiques, et le problème pourrait être résolu en un nombre d'étapes de réaction chimiques linéaire en fonction du nombre de sommets du graphe.

Ce résultat est important en informatique théorique : il s'agit d'une méthode de résolution en temps polynomial d'un problème NP-complet, et fournit donc une méthode en temps polynomial pour résoudre n’importe quel problème NP-complet, ce que les ordinateurs actuels ne sont pas capables de faire.

Néanmoins ce faible coût en temps se paye d'une autre manière : la quantité d'ADN nécessaire dépend de la taille du problème, ce qui se répercute entre autres sur le poids de la machine nécessaire. Un chercheur[25] a calculé qu'une machine permettant la résolution du problème pour un graphe de 200 sommets pourrait peser 3x1025 kg. L'algorithme suppose aussi que l'on dispose d'un nombre factoriel de types distincts de la molécule d'ADN qui participeront à la réaction[26]. Ces problèmes, ainsi que d'autres problèmes liés à la réalisation de machine à ADN utilisables n’ont pas permis à l’heure actuelle un réel développement des ordinateurs à ADN pour la résolution concrète de ce type de problèmes.

Démonstration que le problème est NP-complet[modifier | modifier le code]

Les problèmes du cycle ou du circuit hamiltonien dans les graphes orientés ou non sont deux des problèmes parmi les 21 problèmes NP-complets de Karp. Le problème dans le graphe non orienté se ramène au problème dans le graphe orienté. Le cas dans le graphe orienté se ramène au problème de couverture des sommets ainsi :

Plus de détails sur la complexité[modifier | modifier le code]

Le problème de la recherche d'un cycle hamiltonien est dans la classe FNP (en).

Les problèmes du cycle et du circuit hamiltonien restent NP-complets même :

  • dans le cas des graphes planaires de degré maximum trois[27] ;
  • dans le cas des graphes planaires orientés avec degré entrant et sortant inférieurs ou égaux à 2[28] ;
  • dans le cas des graphes non orientés sans isthme, planaires, cubiques et bipartis et des graphes cubiques 3-connexes bipartis[29].

Néanmoins, si l'on assemble toutes ces conditions, le problème de savoir si les graphes planaires cubiques bipartis 3-connexes contiennent toujours un cycle hamiltonien reste ouvert (conjecture de Barnette (en)), et si c'était le cas le problème restreint à ces graphes ne pourrait pas être NP-complet.

Dans un graphe où tous les sommets sont de degré impair, une démonstration liée au lemme des poignées de main prouve que le nombre de cycles hamiltoniens passant par n'importe quelle arête est toujours pair. Ainsi, si un cycle hamiltonien est connu, alors un second doit aussi exister[30]. Néanmoins, trouver ce second cycle ne semble pas être un travail de calcul facile. Papadimitriou a défini la classe de complexité PPA pour regrouper les problèmes comme celui-ci[31],[32].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) William Rowan Hamilton, « Account of the Icosian Calculus », Proceedings of the Royal Irish Academy, no 6,‎ 1858
  2. (en) William Rowan Hamilton, « Memorandum respecting a new system of roots of unity », Philosophical Magazine, no 12,‎ 1856.
  3. (en) N. L. Biggs, « T. P. Kirkman, mathematician », The Bulletin of the London Mathematical Society, vol. 13, no 2,‎ 1981, p. 97–120 (DOI 10.1112/blms/13.2.97).
  4. (en) Melissa DeLeon, « A Study of Sufficient Conditions for Hamiltonian Cycles », Department of Mathematics and Computer Science, Seton Hall University.
  5. (en) Gabriel Andrew Dirac, « Some theorems on abstract graphs », Proceedings of the London Mathematical Society, série 3e série, vol. 2,‎ 1952, p. 69–81 (DOI 10.1112/plms/s3-2.1.69)
  6. (en) Ronald Graham, Handbook of Combinatorics, MIT Press,‎ 1995 (ISBN 978-0-262-57170-8, lire en ligne).
  7. (en) Øystein Ore, « A Note on Hamiltonian Circuits. », American Mathematical Monthly, no 67,‎ 1960, p. 55.
  8. Cette adaptation de la démonstration classique du théorème d'Ore est due à David Eppstein en 2013.
  9. (en) Lajos Pósa, « A theorem concerning hamilton lines », Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató ́Int. Közl., no 7,‎ 1962, p. 225–226.
  10. (en) Crispin Nash-Williams, « On Hamiltonian circuits in finite graphs », Proc. Amer. Math. Soc., no 17,‎ 1966, p. 466-467 (lire en ligne).
  11. (en) John Adrian Bondy et Václav Chvátal, « A method in graph theory », Discrete Math., no 15,‎ 1976, p. 111–135.
  12. Alain Ghouila-Houri, « Une condition suffisante d'existence d'un circuit hamiltonien », C. R. Acad. Sci. Paris, no 251,‎ 1960, p. 495−497.
  13. (en) Douglas R. Woodall, « Sufficient conditions for circuits in graphs », Proceedings of the London Mathematical Society, série Third Series, vol. 24,‎ 1972, p. 739–755.
  14. M. Meyniel, « Une condition suffisante d'existence d'un circuit hamiltonien dans un graphe orienté », Journal of Combinatorial Theory, Ser. B, vol. 14, no 2,‎ 1973, p. 137–147 (DOI 10.1016/0095-8956(73)90057-9).
  15. (en) Michael R. Garey et David S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W. H. Freeman,‎ 1979, 199−200 p. (ISBN 0-7167-1045-5).
  16. (en) Chuzo Iwamoto et Godfried Toussaint, « Finding Hamiltonian circuits in arrangements of Jordan curves is NP-complete », Information Processing Letters, vol. 52,‎ 1994, p. 183–189.
  17. Schéma adapté de Nanoinformatique et intelligence ambiante - Inventer l'ordinateur du XXIe siècle Jean-Baptiste Waldner, Hermès Science, London, 2007 (avec la permission de l'auteur)
  18. (en) Frank Rubin, « A Search Procedure for Hamilton Paths and Circuits », Journal of the ACM, vol. 21,‎ 1974, p. 576-580.
  19. (en) Richard Bellman, « Dynamic programming treatment of the travelling salesman problem », Journal of the ACM, vol. 9,‎ 1962, p. 61–63 (DOI 10.1145/321105.321111).
  20. (en) M. Held et R. M. Karp, « A dynamic programming approach to sequencing problems », J. SIAM, vol. 10, no 1,‎ 1962, p. 196–210 (DOI 10.1137/0110015).
  21. (en) Andreas Björklund, « Determinant sums for undirected Hamiltonicity », Proc. 51st IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS '10),‎ 2010, p. 173–182 (DOI 10.1109/FOCS.2010.24, arXiv 1008.0541).
  22. (en) Kazuo Iwama et Takuya Nakashima, « An improved exact algorithm for cubic graph TSP », Proc. 13th Annual International Conference on Computing and Combinatorics (COCOON 2007), série Lecture Notes in Computer Science, vol. 4598,‎ 2007, p. 108–117 (DOI 10.1007/978-3-540-73545-8_13).
  23. (en) Leonard Adleman, An Abstract Theory of Computer Viruses, Springer-Verlag New York, Inc.,‎ 1990 (ISBN 0-387-97196-3).
  24. (en) Leonard Adleman, Towards a (MATH)ematical theory of self-assembly. Technical Report 00-722, Department of Computer Science, University of Southern California,‎ 2000 (ISBN 2-7011-4032-3).
  25. (en) « Complexity & computabiliy »
  26. (en) Leonard Adleman, « Molecular computation of solutions to combinatorial problems », Science, vol. 266, no 5187,‎ novembre 1994, p. 1021–1024 (PMID 7973651, DOI 10.1126/science.7973651, JSTOR 2885489).
  27. (en) Michael Garey, David S. Johnson et Larry Stockmeyer, « Some simplified NP-complete problems », Proc. 6th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '74),‎ 1974, p. 47–63 (DOI 10.1145/800119.803884).
  28. (en) J. Plesńik, « The NP-completeness of the Hamiltonian cycle problem in planar digraphs with degree bound two », Information Processing Letters, vol. 8, no 4,‎ 1979, p. 199–201 (lire en ligne).
  29. (en) Takanori Akiyama, Takao Nishizeki et Nobuji Saito, « NP-completeness of the Hamiltonian cycle problem for bipartite graphs », Journal of Information Processing, vol. 3, no 2,‎ 1980−1981, p. 73–76 (lire en ligne).
  30. (en) A. G. Thomason, « Hamiltonian cycles and uniquely edge colourable graphs », Advances in Graph Theory (Cambridge Combinatorial Conf., Trinity College, Cambridge, 1977), série Annals of Discrete Mathematics, vol. 3,‎ 1978, p. 259–268 (DOI 10.1016/S0167-5060(08)70511-9).
  31. (en) Christos H. Papadimitriou, « On the complexity of the parity argument and other inefficient proofs of existence », Journal of Computer and System Sciences, vol. 48, no 3,‎ 1994, p. 498–532 (DOI 10.1016/S0022-0000(05)80063-7).
  32. (en) La classe PPA sur le Complexity Zoo

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Sources[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]