Graphe de Chvátal

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graphe de Chvátal
Image illustrative de l'article Graphe de Chvátal
Le graphe de Chvátal

Nombre de sommets 12
Nombre d'arêtes 24
Distribution des degrés 4-régulier
Rayon 2
Diamètre 2
Maille 4
Automorphismes 8 (D4)
Nombre chromatique 4
Indice chromatique 4
Propriétés Régulier
Hamiltonien
Eulérien

Le graphe de Chvátal est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 12 sommets et 24 arêtes. Il doit son nom à Václav Chvátal, qui le découvrit en 1970[1].

Le graphe de Chvátal est hamiltonien et sans triangle. Il joue un rôle clef dans l'article de Herbert Fleischner et Gert Sabidussi (en) prouvant en 2002 que déterminer si un graphe hamiltonien sans triangle est 3-colorable est un problème NP-complet[2].

Le graphe de Chvátal sert d'illustration à la conjecture de Grünbaum qui stipule que pour tout m>1 et n>2 il existe un graphe n-régulier de nombre chromatique m et de maille au moins n[3]. Le résultat est trivial pour n=2 et m=2,3 mais pour m>3 seuls peu de graphes illustrant la conjecture sont connus.

Le graphe de Chvátal est le plus petit graphe 4-régulier sans triangle avec un nombre chromatique de 4. Le seul graphe plus petit étant sans triangle et ayant un nombre chromatique de 4 est le graphe de Grötzsch. Ce dernier a 11 sommets mais n'est pas régulier et a un sommet de degré 5.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le graphe de Chvátal a 370 cycles hamiltoniens distincts et est eulérien.

Le diamètre du graphe de Chvátal, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 4-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 4 sommets ou de 4 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Le nombre chromatique du graphe de Chvátal est 4. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 4 couleurs de tel façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes, mais ce nombre est minimal : il n'existe pas de 3-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Chvátal est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommets soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes d'un graphe. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. Cette fonction est polynomiale et est qualifiée de polynôme chromatique du graphe. Ce polynôme a pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 4 et est de degré 12 ; il est égal à : (x-3) (x-2) (x-1) x (x^8-18 x^7+157 x^6-861 x^5+3228 x^4-8423 x^3+14850 x^2-16080 x+8143).

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Chvátal est un groupe d'ordre 8 isomorphe au groupe diédral D4, le groupe des isométries du plan conservant un carré. Ce groupe est constitué de 4 éléments correspondant aux rotations et de 4 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Chvátal est : (x-4) (x-1)^4 x^2 (x+1) (x+3)^2 (x^2+x-4).

Galerie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) V. Chvátal, « The smallest triangle-free 4-chromatic 4-regular graph », Journal of Combinatorial Theory, vol. 9, no 1,‎ 1970, p. 93–94 (DOI 10.1016/S0021-9800(70)80057-6)
  2. (en) Herbert Fleischner et Gert Sabidussi, « 3-colorability of 4-regular Hamiltonian graphs », Journal of Graph Theory, vol. 42, no 2,‎ 2002, p. 125–140 (DOI 10.1002/jgt.10079)
  3. (en) B. Grünbaum, « A Problem in Graph Coloring », Amer. Math. Month., vol. 77,‎ 1970, p. 1088-1092

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Chvátal Graph », MathWorld