Graphe de Wagner

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Graphe de Wagner
Image illustrative de l'article Graphe de Wagner
Représentation du graphe de Wagner.

Nombre de sommets 8
Nombre d'arêtes 12
Distribution des degrés 3-régulier
Rayon 2
Diamètre 2
Maille 4
Automorphismes 16
Nombre chromatique 3
Indice chromatique 3
Propriétés Cubique
Hamiltonien
Régulier
Sommet-transitif

Le graphe de Wagner est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 8 sommets et 12 arêtes[1]. C'est un cas particulier d'échelle de Möbius.

Constructions[modifier | modifier le code]

Le graphe de Wagner est un cubique et hamiltonien, il peut être défini par la notation LCF [4]8.

Une autre façon de le construire est de le considérer comme une échelle de Möbius, c'est-à-dire un graphe échelle sur le ruban de Möbius.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Le diamètre du graphe de Wagner, l'excentricité maximale de ses sommets, est 2, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 2 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration[modifier | modifier le code]

Coloration du graphe de Wagner avec 3 couleurs.

Le nombre chromatique du graphe de Wagner est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du graphe de Wagner est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telle que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Il est possible de compter les colorations distinctes du graphe de Wagner. Cela donne une fonction dépendant du nombre de couleurs autorisé. C'est une fonction polynomiale et le polynôme qui lui est associé est qualifiée de polynôme chromatique. Ce polynôme de degré 8 admet pour racines tous les entiers positifs ou nuls strictement inférieurs à 3. Il est égal à : (x-2) (x-1) x (x^2-4 x+5) (x^3-5 x^2+12 x-14).

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Le groupe d'automorphismes du graphe de Wagner est un groupe d'ordre 16 isomorphe au groupe diédral D8, le groupe des isométries du plan conservant un octogone régulier. Ce groupe est constitué de 8 éléments correspondant aux rotations et de 8 autres correspondant aux réflexions.

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe de Wagner est : (x-3) (x-1)^2 (x+1) (x^2+2 x-1)^2.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. A. Bondy et U. S. R. Murty, Graph Theory, Springer,‎ 2007, 275 à 276 p. (ISBN 978-1-84628-969-9).