Graphe cubique

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Le graphe de Petersen est un graphe cubique.

En théorie des graphes, une branche des mathématiques, un graphe cubique est un graphe régulier de degré 3. En d'autres termes, c'est un graphe dans lequel il y a exactement trois arêtes incidentes à chaque sommet.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Nombre de sommets[modifier | modifier le code]

Une conséquence du lemme des poignées de main est que tout graphe cubique a un nombre pair de sommets.

Coloration[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de Brooks, les sommets d'un graphe cubique peuvent être coloré avec trois couleurs (ou moins) de façon à ce que deux sommets adjacents ne soient pas de la même couleur, sauf dans le cas du graphe tétraédrique K_4.

Un graphe bicubique est un graphe biparti régulier de degré 3, c'est-à-dire un graphe cubique dont les sommets peuvent être colorés avec deux couleurs seulement.

D'après le théorème de Vizing, les arêtes d'un graphe cubique peuvent être colorées avec 3 ou 4 couleurs sans que deux arêtes de même couleur ne soient incidentes au même sommet. Les snarks sont les graphes cubiques connexes et sans isthme qui ont besoin de 4 couleurs.

Théorème de Petersen[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Petersen (en).

Le théorème de Petersen précise que tout graphe cubique sans isthme possède un couplage parfait[1].

En d'autres termes, si, dans un graphe cubique, toute arête appartient à un cycle, alors il existe un ensemble d'arêtes qui sont incidentes à tous les sommets, chaque sommet n'étant l'extrémité que d'une seule de ces arêtes.

Ce théorème, un des plus anciens de la théorie des graphes, puisqu'il date de 1891, est vu de nos jours comme une application du théorème de Tutte (en).

Chemins hamiltoniens[modifier | modifier le code]

Dans un graphe hamiltonien, on peut passer par tous les sommets une fois et une seule.

La plupart des graphes cubiques sont hamiltoniens, mais pas tous : la probabilité d'être hamiltonien tend vers 1 quand le nombre de sommets augmente indéfiniment[2].

Les graphes cubiques peuvent même être à la fois polyédriques, cubiques et non hamiltoniens, comme le montre le graphe de Tutte. Ils peuvent aussi être à la fois bicubiques et non hamiltoniens, comme le montrent le graphe de Horton ou le 54-graphe de Ellingham-Horton. La conjecture de Barnette (en), encore non prouvée et non infirmée pour le moment, affirme que tout graphe à la fois bicubique et polyédrique serait hamiltonien.

Quand un graphe cubique est hamiltonien, la notation LCF permet de le représenter de façon concise.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) Julius Peter Christian Petersen, « Die Theorie der regulären Graphs », Acta Mathematica, no 15,‎ 1891, p. 193–220 (DOI 10.1007/BF02392606, lire en ligne)
  2. (en) R. W. Robinson et N. C. Wormald, « Almost all regular graphs are Hamiltonian », Random Structures and Algorithms, vol. 5, no 2,‎ 1994, p. 363–374 (DOI 10.1002/rsa.3240050209).

Liens externes[modifier | modifier le code]