Fonction à variation bornée

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En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction définie sur un ensemble totalement ordonné T et à valeurs dans un espace métrique (E, d).

Pour toute subdivision σ = (x0, x1, … , xn) d'un intervalle quelconque de T, on définit V(f, σ) par :

V(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n d(f(x_{i-1}),f(x_i)).

On appelle variation totale (en) de f sur T la valeur VT(f) définie par :

V_T(f)=\sup_{\sigma}V(f,\sigma).

On dit que f est à variation bornée si cette borne supérieure VT(f) est finie[1], autrement dit si l'« arc » (non nécessairement continu) défini par f est rectifiable au sens de Jordan.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La variation totale (finie ou infinie) d'une fonction f continue sur un segment réel [a, b] est non seulement la borne supérieure des V(f, σ) quand σ parcourt les subdivisions de [a, b], mais aussi leur limite, quand le pas de la subdivision σ tend vers 0. On en déduit que pour une fonction continue à variation bornée f, l'application tV[a, t](f) est continue[1].
  • Si φ est une bijection croissante d'un autre ensemble totalement ordonné S vers T, la variation totale de f∘φ sur S est égale à celle de f sur T[1].
  • Pour tout espace vectoriel normé E, les fonctions à variation bornée forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de T dans E.
  • Toute fonction F absolument continue (en particulier toute fonction lipschitzienne) est à variation bornée. Autrement dit : si f est intégrable au sens de Lebesgue sur un intervalle I alors, pour a fixé dans I, la fonction
    x\mapsto F(x)=\int_a^xf(t)~\mathrm dt
    est à variation bornée. En effet,
    V_a^x(F)\le\int_a^x\vert f(t)\vert dt\le\int_I \vert f(t)\vert~\mathrm dt.
  • Toute fonction à variation bornée est réglée (c'est-à-dire limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier).
  • Les fonctions à variation bornée d'un segment réel dans ℝ sont exactement les différences de deux fonctions croissantes (une telle décomposition f = g – h est loin d'être unique[2] ; si f est continue, g et h peuvent être choisies continues : par exemple[1] h(t) = V[a, t](f) et g = f + h). On en déduit que leurs discontinuités sont inessentielles et forment un ensemble au plus dénombrable, et que ces fonctions sont dérivables presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue).
  • Il existe des fonctions dérivables à variation totale infinie, comme[1] la fonction f définie sur [–1, 1] par f(x) = x2cos2(π/x2) si x ≠ 0 et f(0) = 0.

Généralisation aux fonctions à variables multiples[modifier | modifier le code]

Une définition étendue aux fonctions à variables multiples peut se faire par la variation de Vitali[3],[4]. Proposée par Vitali, elle a été reprise par Lebesgue et Fréchet.

Soit une fonction f définie sur un pavé [a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n, b_n] \subseteq \R^n. On note :

\Delta_{h_k} (f,x) = f(x_1, x_2, \cdots, x_k+h_k , \cdots, x_n) - f(x_1, x_2, \cdots, x_k , \cdots, x_n)

puis, de façon récursive,

\Delta_{h_1, h_2, \cdots, h_k} (f,x) = \Delta_{h_k} (\Delta_{h_1, h_2, \cdots, h_{k-1}},x).

On se donne ensuite des suites de points \pi_k sur chaque direction a_k = t_k^1 < t_k^2 < \cdots < t_k^{N_k+1} = b_k, et on associe h_k^i = t_k^{i+1} - t_k^i.

La variation au sens de Vitali de f est donnée par :

V^n (f) = \sup_{(\pi_1, ... \pi_n)} \sum_{k=1}^{n} \sum_{i_k=1}^{N_k} \left| \Delta_{h_1^{i_1}, h_2^{i_2}, \cdots, h_k^{i_k}} \left(f, (x_1^{i_1}, x_2^{i_2}, \cdots, x_k^{i_k}) \right) \right|

Cette définition de la variation peut être étendue à travers la définition de la variation de Hardy-Krause :

La variation de Hardy-Krause de f est donnée par :

V (f) = \sum V^n (f)
où la somme est faite sur toutes les faces de tous les sous-intervalles du pavé [a_1, b_1] \times \cdots \times [a_n, b_n] \subseteq \R^n de dimension inférieure ou égale à n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c, d et e Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 99-106.
  2. (en) J. Yeh, Real Analysis: Theory of Measure and Integration, World Scientific,‎ 2006, 2e éd. (ISBN 978-9-81256653-9, lire en ligne), p. 265 : « Jordan Decomposition of Functions of Bounded Variation »
  3. (it) G. Vitali, « Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali », Atti Accad. Sci. Torino, vol. 43,‎ 1908, p. 229-246 (ISSN 39.0101.05)
  4. (de) H. Hahn, Theorie der reellen Funktionen. Erster Band.,‎ 1921

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) « Function of bounded variation », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)