Fonction à variation bornée

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En analyse, une fonction est dite à variation bornée quand elle vérifie une certaine condition de régularité. Cette condition a été introduite en 1881 par le mathématicien Camille Jordan pour étendre le Théorème de Dirichlet sur la convergence des séries de Fourier.

[modifier] Définition

Soit $f$ une fonction définie sur le compact $[a, b]$ à valeur dans $\R$ .

Pour chaque subdivision $\sigma =(a=x_0 ,x_1 ,\ldots ,x_n =b) \in \mathcal S ([a,b])$ , on définit $V (f,σ)$ par :

$V(f,\sigma) \doteqdot \sum_{i=1}^{n} \left| f(x_i) - f(x_{i-1}) \right|$ .

On appelle variation totale de $f$ la valeur $V^{b}_{a} \in \bar{\R}$ définie par :

$V^{b}_{a}(f) \doteqdot \sup_{\sigma \in \mathcal S ([a,b])} V(f,\sigma )$

On dit que $f$ est à variation bornée si $V^{b}_{a}(f)$ est fini.

Les fonctions à variations bornées forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de $[a, b]$ dans $\R$ .
Toute fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ est à variations bornées, toute fonction monotone également.
Toute fonction à variations bornées est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
Toute fonction à variations bornées est différence de deux fonctions croissantes. A fortiori, l'espace vectoriel des fonctions à variations bornées est engendré par l'ensemble des fonctions croissantes ; on en déduit également que les fonctions à variations bornées n'ont qu'au plus une quantité dénombrable de points de discontinuité et sont dérivables presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue).