Théorème de la limite monotone

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Le théorème de la limite monotone est un théorème d'analyse selon lequel les éventuelles discontinuités d'une fonction numérique monotone sont « par sauts (en) » et les suites monotones possèdent une limite.

Énoncé pour les fonctions[modifier | modifier le code]

Soient ]a, b[ un intervalle réel ouvert non vide, borné ou non :

-\infty\le a<b\le+\infty

et

f~:~]a,b[\to\R

une fonction croissante. Alors :

  • f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement f(x+) et f(x) ; elles vérifient la double inégalité
    f(x^-)\le f(x)\le f(x^+).
  • f admet en b une limite à gauche, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon.
  • f admet en a une limite à droite, qui est finie si f est minorée et qui vaut –∞ sinon.
(théorème analogue pour les fonctions décroissantes, se déduisant immédiatement du précédent en remplaçant f par f : il convient d'inverser le sens des inégalités larges, d'échanger minorée et majorée ainsi que +∞ et –∞).

Énoncé pour les suites[modifier | modifier le code]

Soit u=\left(u_n\right)_{n\in\N} une suite croissante de réels.

  • Si la suite est majorée alors elle est convergente.
  • Si la suite n'est pas majorée alors elle admet +∞ pour limite.
(théorème analogue pour les suites décroissantes ; il se déduit immédiatement du précédent en remplaçant u par -u).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Suite de Specker, exemple d'une suite de nombres rationnels qui est calculable, croissante et majorée, mais dont la limite n'est pas un nombre réel calculable.