Théorème de différentiation de Fubini

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème de Fubini.

En mathématiques, le théorème de différentiation de Fubini est un résultat d'analyse réelle, attribué à Guido Fubini, selon lequel toute série de fonctions croissantes qui converge est presque partout dérivable terme à terme.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si, pour tout entier naturel n,

f_n:[a,b]\to\R

est une fonction croissante et si

\forall x\in[a,b],~f(x):=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\in\R

alors, pour presque tout x ∈ [a, b],

f'(x)=\sum_{n\in\N}f_n'(x).

Démonstration[modifier | modifier le code]

On utilise ici que toute fonction monotone est dérivable presque partout.

On[1],[2] se ramène sans peine au cas où toutes les fn sont positives (en retranchant à chacune sa valeur en a) et où

\forall n\in\N,~\sum_{k>n}f_k(b)\le2^{-n}

(en regroupant des termes consécutifs de la série).

La somme g des fonctions croissantes gn définies par

g_n(x)=\sum_{k>n}f_k(x)

est alors finie (positive et majorée par 2) et l'on a, presque partout :

\sum_{n\in\N}g'_n(x)\le g'(x)<+\infty\text{ donc }\lim_{n\to\infty}\left(f'(x)-\sum_{k\le n}f'_k(x)\right)=\lim_{n\to\infty}g'_n(x)=0.

Cas d'une fonction de saut[modifier | modifier le code]

Le cas particulier suivant n'utilise pas le théorème de dérivabilité presque partout des fonctions monotones et peut, au contraire, servir de lemme pour ce théorème[3],[4]. Il s'agit du cas où f est une « fonction de saut », c'est-à-dire où chaque fn est de la forme :

  • f_n(x)=0 si x<a_n,
  • f_n(x)=b_n si x>a_n et
  • 0\le f_n(a_n)\le b_n.

Avec les notations de la section précédente, on déduit en effet directement de l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood que

\forall c>0,\lambda([\overline Dg_n\ge c])\le2^{1-n}/c

D désigne la dérivée supérieure de Dini (bilatérale). Or, presque partout,

\overline Dg_n=\overline D\left(f-\sum_{k\le n}f_k\right)=\overline Df-\sum_{k\le n}f'_k=\overline Df.

Par conséquent,

\forall c>0,\lambda([\overline Df\ge c])\le\inf_{n\in\N}2^{1-n}/c=0\text{ donc }f'=0~\lambda\text{-p.p.}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Lee Peng Yee et Rudolf Vyborny, Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, CUP,‎ 2000 (ISBN 978-0-521-77968-5, lire en ligne), p. 145
  2. (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover,‎ 1971, 2e éd. (ISBN 978-0-48666509-2, lire en ligne), p. 235-236
  3. (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, AMS,‎ 2011 (lire en ligne), p. 129-135
  4. (en) R. P. Boas, Jr., « Differentiability of jump functions », Colloquium Mathematicum, vol. 8, no 1,‎ 1961, p. 81-82 (lire en ligne)