Fonction maximale de Hardy-Littlewood

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En mathématiques et plus particulièrement en analyse, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur M qui associe à toute fonction localement intégrable f sur ℝn une autre fonction Mf ; cette fonction Mf est définie en chaque point x de ℝn comme étant la borne supérieure des valeurs moyennes de |f| sur les boules centrées en x. La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood[1].

Formulation[modifier | modifier le code]

À toute fonction localement intégrable f\in L^1_{loc}\left(\R^n\right) on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood Mf:\R^n\to[0,+\infty] définie par

Mf(x)=\sup_{r>0}\frac{1}{\lambda_n\left(B(x,r)\right)}\int_{B(x,r)}|f(t)|\mathrm d\lambda_n(t)

B(x, r) désigne la boule de ℝn centrée en x et de rayon r > 0 et λn désigne la mesure de Lebesgue sur ℝn.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement.
  • Cette fonction Mf n'est jamais intégrable, sauf si f = 0. Il existe même f intégrable telle que Mf ne soit pas localement intégrable[2].

Inégalité maximale de Hardy-Littlewood[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

Généralisation au cas des mesures de Borel[modifier | modifier le code]

En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝn la fonction maximale Mμ définie par :

M\mu(x)=\sup_{r>0} \frac{\mu\left(B(x,r)\right)}{\lambda_n\left(B(x,r)\right)}.

La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie, l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « A maximal theorem with function-theoretic applications », Acta Mathematica, vol. 54,‎ 1930, p. 81–116
  2. (en) Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones & Bartlett,‎ 2001, 2e éd. (ISBN 978-0-76371708-7, lire en ligne), p. 451-452
  3. (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, AMS,‎ 2011 (ISBN 9780821869192, lire en ligne), p. 130-131
  4. (en) Andrew M. Bruckner (en), Judith B. Bruckner et Brian S. Thomson, Real Analysis,‎ 1997 (ISBN 978-0-13458886-5, lire en ligne), p. 264-266

Articles connexes[modifier | modifier le code]