Cercle de Tucker

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En géométrie, les cercles de Tucker désignent des cercles intersectant les côtés d'un triangle, généralisant le cercle de Taylor et les cercles de Lemoine. Ils ont été étudiés en 1885 par le mathématicien anglais Robert Tucker (en)^[1] ; l'appellation "cercle de Tucker" a été donnée par J. Neuberg ^[2]en 1885, mais ces cercles étaient déjà connus d’Émile Lemoine en 1873 ^[2].

Définitions

Il existe trois façons équivalentes de construire un cercle de Tucker.

Par homothétie

Dans une homothétie de centre le point de Lemoine L, de rapport k (différent de 1 et de 0), le triangle ABC a pour image A’B’C’. Les côtés prolongés du triangle A’B’C’ rencontrent alors ceux de ABC en six points.

Ces points sont sur un même cercle dit cercle de Tucker, et forment un hexagone de Tucker.

Le centre $\Omega$ du cercle est le milieu du segment joignant les centres des cercles circonscrits aux deux triangles^[3].

Par construction des antiparallèles

On considère un point M du côté [AB], différent de A et B. En traçant l'antiparallèle à (BC) par rapport à (AB) et (AC) passant par M (soit la droite passant par M et parallèle à la tangente au cercle circonscrit de ABC en A), cette droite intersecte AC en un point N. La parallèle à (AB) passant par N intersecte (AC) en un point R. En continuant le processus, ou en traçant directement le cercle passant par M, N et R, on construit les trois points S, P et Q qui complètent l'hexagone de Tucker.

En effet, un raisonnement sur les antiparallélismes permet de vérifier que (PQ) est antiparallèle de (AC) par rapport à (BA,BC)

Par construction de trois antiparallèles de longueur égale

Les droites (MN), (PQ) et (RS) sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Cette propriété peut être prise comme définition en déterminant trois segments [MN], [PQ], [RS] de longueur égale et parallèles aux tangentes en A, B, C au cercle circonscrit.

Triangles tangentiels

En revenant de la construction par homothétie du cercle de Tucker pour la définition des points U, V, W. On définit les points U₁, U₂ et U₃, intersections des droites (PQ), (RS) et (MN). Ils sont situés sur les symédianes. Le triangle U₁U₂U₃ est le triangle tangentiel de UVW, et est homothétique du triangle tangentiel T₁T₂T₃ de ABC dans l'homothétie de centre L.

Milieu des cordes, construction à partir d'un centre donné

Les milieux forment un triangle UVW se déduisant de ABC dans une homothétie de centre L de rapport k. Dans cette homothétie, le point O a pour image Ω avec LΩ/LO = |k|. Ce point Ω est le centre du cercle circonscrit à UVW. La droite (UΩ) parallèle à (OA) est perpendiculaire à (MN), c'est la médiatrice de [MN]. De même (VΩ) est la médiatrice de [PQ]. Ω est bien le centre du cercle (T).

Un cercle de Tucker est caractérisé par son centre Ω situé sur (OL), distinct de O et de L.

Propriétés

Les milieux des côtés de l'hexagone de tucker intérieurs au triangle sont situés sur les symédianes et forment un triangle UVW homothétique de ABC dans une homothétie de centre L.

Les côtés de l'hexagone de Tucker intérieurs au triangle sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Le centre du cercle de Tucker est le milieu du segment formé par les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC et A’B’C’.

En notant le rapport d'homothétie

k={\frac {L\Omega }{LO}}={\frac {LU}{LA}}={\frac {LV}{LC}}={\frac {LW}{LB}}

le rayon du cercle de Tucker vaut

R_{T}=R{\sqrt {k^{2}+(1-k)^{2}\tan ^{2}\omega }}

où $R$ est le rayon du cercle circonscrit à ABC et $ω$ son angle de Brocard.

Cas particuliers

On peut en déduire ainsi plusieurs cas particuliers de cercles de Tucker pour un triangle :

son cercle d'Apollonius (le cercle tangent intérieurement aux trois cercles exinscrits à ABC, pour $k={\frac {p(p^{2}-r^{2})}{abc}}$ , avec $r$ le rayon du cercle inscrit dans ABC et $p$ son demi-périmètre)
son cercle circonscrit (pour $k = 1$ )
ses deux cercles de Lemoine (pour $k = 1/2$ et $k = 0$ , respectivement)
son cercle de Taylor (pour $k=-\cos {\hat {A}}\cos {\hat {B}}\cos {\hat {C}}$ )
ses cercles de Gallatly et de Kenmotu

Bibliographie

T. Lalesco, Géométrie du triangle, Vuibert, 1952, chapitre7
Yvonne et René Sortais, La géométrie du triangle, Hermann 1997, pages 168 à 173 (ISBN 978-2-7056-1429-4)
Jacques Bouteloup, Cercles de Tücker, Quadrature n°63, Janvier-Mars2007, pages 28 à 32

François Lobit, Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle, Publibook, 2015, pages 30,31

Liens externes

Patrice Debart, Géométrie du triangle,
(en) Eric W. Weisstein, « Tucker circles », sur MathWorld.

Notes et références

↑ (en) Robert Tucker, « On a Group of Circles », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 20,‎ 1885, p. 57
↑ ^{a et b} J. Neuberg, « Sur les cercles de Tucker », Educational times, vol. 28,‎ 1886, p. 81-85
↑ H. Brocard, T. Lemoine, Courbes géométriques remarquables, Paris, Albert Blanchard, 1967 (réédition) (lire en ligne), p. 164-165

Portail de la géométrie

[1] (en) Robert Tucker, « On a Group of Circles », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 20,‎ 1885, p. 57

[:0-2] {a et b} J. Neuberg, « Sur les cercles de Tucker », Educational times, vol. 28,‎ 1886, p. 81-85

[3] H. Brocard, T. Lemoine, Courbes géométriques remarquables, Paris, Albert Blanchard, 1967 (réédition) (lire en ligne), p. 164-165

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v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron