4-polytope régulier convexe

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Un hypercube.

Un polytope régulier convexe à 4 dimensions (ou polychore) est un objet géométrique, analogue en 4 dimensions des solides de Platon de la géométrie en 3 dimensions et des polygones réguliers de la géométrie en 2 dimensions.

Ces polytopes furent décrits la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIXe siècle. Schläfli découvrit qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leur côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle, leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Caractéristiques[modifier | modifier le code]

Le tableau suivant résume les caractéristiques principales des polychores réguliers :

Polychore Symbole de Schläfli Sommets Arêtes Faces Cellules Figure de sommet Dual Groupe de Coxeter Ordre
Pentachore {3,3,3} 5 10 10
(triangles)
5
(tétraèdres)
Tétraèdre (Lui-même) A4 120
Tesseract {4,3,3} 16 32 24
(carrés)
8
(cubes)
Tétraèdre Hexadécachore B4 384
Hexadécachore {3,3,4} 8 24 32
(triangles)
16
(tétraèdres)
Octaèdre Tesseract B4 384
Icositétrachore {3,4,3} 24 96 96
(triangles)
24
(octaèdres)
Cube (Lui-même) F4 1 152
Hécatonicosachore {5,3,3} 600 1 200 720
(pentagones)
120
(dodécaèdres)
Tétraèdre Hexacosichore H4 14 400
Hexacosichore {3,3,5} 120 720 1 200
(triangles)
600
(tétraèdres)
Icosaèdre Hécatonicosachore H4 14 400

Dimensions[modifier | modifier le code]

Le tableau suivant résume certaines propriétés géométriques des polychores réguliers :

Dans les formules, φ est le nombre d'or et l'arête est de longueur unité.

Polychore V S R r θ
Pentachore \frac{\sqrt{5}}{96} \frac{5\sqrt{2}}{12} \frac{\sqrt{10}}5 \frac{\sqrt{10}}{20} \frac\pi2
Tesseract 1\, 8\, 1\, \frac12 \arccos\frac14
Hexadécachore \frac16 \frac{4\sqrt{2}}{3} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{4} \frac{2\pi}{3}
Icositétrachore 2\, 8\sqrt{2} 1\, \frac{\sqrt{2}}2 \frac{2\pi}{3}
Hécatonicosachore \frac{15(47\varphi+29)}{2} 60(7\varphi+4)\, (\varphi+1)\sqrt{2} \frac{3\varphi+2}{2} \frac{4\pi}{5}
Hexacosichore \frac{25(2\varphi+1)}{4} 50\sqrt{2} \varphi\, \frac{(2\varphi+1)\sqrt{2}}{2} 2 \arctan\left\{ (2\varphi+1)\sqrt3 \right\}

Représentations[modifier | modifier le code]

Le tableau suivant recense quelques projections particulières des polychores.

Polychore Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Polygone de Pétrie Projection orthographique solide Diagramme de Schlegel Projection stéréographique
Pentachore {3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4-simplex t0.svg Tetrahedron.png
Tétraèdre
Schlegel wireframe 5-cell.png Stereographic polytope 5cell.png
Tesseract {4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4-cube t0.svg Hexahedron.png
Cube
Schlegel wireframe 8-cell.png Stereographic polytope 8cell.png
Hexadécachore {3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 4-cube t3.svg 16-cell ortho cell-centered.png
Cube
Schlegel wireframe 16-cell.png Stereographic polytope 16cell.png
Icositétrachore {3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24-cell t0 F4.svg Ortho solid 24-cell.png
Cuboctaèdre
Schlegel wireframe 24-cell.png Stereographic polytope 24cell.png
Hécatonicosachore {5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120-cell graph H4.svg Ortho solid 120-cell.png
Triacontaèdre rhombique tronqué
Schlegel wireframe 120-cell.png Stereographic polytope 120cell.png
Hexacosichore {3,3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 600-cell graph H4.svg Ortho solid 600-cell.png
Pentaki-icosidodécaèdre
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png Stereographic polytope 600cell.png

Liste[modifier | modifier le code]

Pentachore[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Pentachore.
Un pentachore en rotation

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

  • 5 sommets
  • 10 arêtes
  • 10 faces triangulaires
  • 5 cellules tétraédriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie A_4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Complete graph K5.svg

Tesseract[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Tesseract .
Un hypercube en rotation

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

  • 16 sommets
  • 32 arêtes
  • 24 faces carrées
  • 8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B_4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hypercubestar.svg

Hexadécachore[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Hexadécachore.
Un hyperoctaèdre en rotation

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 8 sommets
  • 24 arêtes
  • 32 faces triangulaires
  • 16 cellules tétraédriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie B_4. Sa figure de sommet est un octaèdre.

Cross graph 4.svg

Icositétrachore[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Icositétrachore.
Un octaplexe en rotation

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

  • 24 sommets
  • 96 arêtes
  • 96 faces triangulaires
  • 24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie F_4. Sa figure de sommet est un cube.

24-cell graph ortho.png

Hécatonicosachore[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Hécatonicosachore.
Un dodécaplexe en rotation

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

  • 600 sommets
  • 1200 arêtes
  • 720 faces pentagonales
  • 120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est H_4. Sa figure de sommet est un tétraèdre.

120-cell petrie polygon.svg

Hexacosichore[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Hexacosichore.
Un tétraplexe en rotation

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

  • 120 sommets
  • 720 arêtes
  • 1200 faces triangulaires
  • 600 cellules tétraédriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est H_4. Sa figure de sommet est un icosaèdre.

600-cell petrie polygon.svg

Notes et références[modifier | modifier le code]


Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]