Équation polaire

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Le plan est muni d'un repère orthonormal . Si est une fonction de dans , on peut considérer l'ensemble des points M dont les coordonnées polaires vérifient l'équation :

.

On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :

.

Si , on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle .

Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle à l'angle .

Base mobile[modifier | modifier le code]

On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe , obtenue par rotation de θ à partir de la base . Ainsi

.

On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.

Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.

Vecteur position[modifier | modifier le code]

Par définition même des coordonnées polaires, est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que et ainsi

.

Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.

Tangente à la courbe[modifier | modifier le code]

Si la fonction est dérivable alors

.

Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à . Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle entre le vecteur et le vecteur tangent vérifie donc :

si ,
si .

Abscisse curviligne[modifier | modifier le code]

Si l'origine est prise en alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point et , est :

.

Rayon de courbure[modifier | modifier le code]

Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.

Si la fonction est deux fois dérivable, et si est non nul, le rayon de courbure est :

.

Point d'inflexion[modifier | modifier le code]

Si la fonction est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité . L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.

Branches infinies[modifier | modifier le code]

Pour étudier les branches infinies, on revient en coordonnées cartésiennes.

Équations polaires paramétriques[modifier | modifier le code]

Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :

 ;
.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Rosace, Spirale, Limaçon, Lemniscate