Fonction arithmétique

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En théorie des nombres, une fonction arithmétique f est une application définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs et à valeurs dans l'ensemble des nombres complexes. En d'autres termes, une fonction arithmétique n'est rien d'autre qu'une suite de nombres complexes, indexée par ℕ*.

Les fonctions arithmétiques les plus étudiées sont les fonctions additives et les fonctions multiplicatives.

Une opération importante sur les fonctions arithmétiques est le produit de convolution de Dirichlet.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les articles sur les fonctions additives et multiplicatives contiennent plusieurs exemples de fonctions arithmétiques.

Exemples de fonctions qui ne sont ni additives ni multiplicatives :

  • toute fonction f telle que f(1) n'est égal ni à 0, ni à 1 ;
  • P : la fonction partage d'un entier qui à un entier n associe le nombre d'écritures de n sous la forme d'une somme d'entiers strictement positifs, en ne tenant pas compte de l'ordre des opérandes.
    En effet, P(1) = 1 et P(2)×P(3) < P(2×3) ;
  • π : la fonction de compte des nombres premiers qui, à partir d'un entier n, donne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n.
    En effet, π(1) = 0 et π(3) + π(4) < π(3×4) ;
  • la fonction de von Mangoldt.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Ordre moyen d'une fonction arithmétique