Fonction propre

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 Pour les notions de fonction propre en analyse convexe et en topologie, voir respectivement Fonction propre (analyse convexe) et Application propre

En mathématiques[modifier | modifier le code]

En mathématiques, une fonction propre f d'un opérateur linéaire sur un espace fonctionnel est un vecteur propre de l'opérateur linéaire. En d’autres termes, une fonction propre d'un opérateur linéaire, , défini sur un certain espace de fonction, est toute fonction f non identiquement nulle sur cet espace qui, lorsqu’elle se voit appliquer cet opérateur en ressort exactement pareille à elle-même, à un facteur d'échelle multiplicatif près. Cette fonction satisfait donc :

pour un scalaire λ, la valeur propre associée à f. L'existence de vecteurs propres est typiquement de grand secours pour analyser .

Par exemple, pour tout réel , est une fonction propre pour l'opérateur différentiel

avec comme valeur propre correspondante .

En mécanique quantique[modifier | modifier le code]

En mécanique quantique les fonctions propres jouent un rôle important. En effet, l'équation de Schrödinger

a des solutions de la forme

où les sont des fonctions propres de l'opérateur avec les valeurs propres . À cause de la nature de l'opérateur hamiltonien , ces fonctions propres sont orthogonales. Cela n'est pas nécessairement le cas pour les fonctions propres d'autres opérateurs (comme l'exemple mentionné ci-haut).