Fonction symétrique

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En mathématiques, une fonction symétrique est une fonction invariante par permutation de ses variables. Le cas le plus fréquent est celui d'une fonction polynomiale symétrique, donnée par un polynôme symétrique.

Définition[modifier | modifier le code]

Une fonction en n variables est symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices {1, … ,n}, l'égalité suivante est vérifiée :

Pour n = 1, toute fonction est symétrique. Pour n = 2, la fonction est symétrique, alors que la fonction ne l'est pas.

Une équation est une équation symétrique lorsque la fonction est symétrique.

Exemples[modifier | modifier le code]

Les fonctions

  et  

sont symétriques. Le discriminant en trois variables

est aussi symétrique. Un exemple de fonction symétrique, toujours en trois variables, qui n'est pas un polynôme est

.

Vérification[modifier | modifier le code]

Pour vérifier qu'une fonction est symétrique, il n'est pas nécessaire de tester qu'elle est invariante pour chacune des n! permutations de ses arguments. Il suffit de choisir un ensemble de permutations qui engendre le groupe symétrique, et l'on a plusieurs choix pour de tels ensembles.

Échanges de deux variables[modifier | modifier le code]

Comme toute permutation est une composée de transpositions de la forme , une fonction est symétrique dès qu'elle reste inchangée par l'échange de deux variables arbitraires et , donc lorsque

pour tout avec . Ceci réduit le nombre de permutations à tester à .

Échanges de variables consécutives[modifier | modifier le code]

Comme toute transposition s'exprime aussi comme une composée de transpositions de valeurs consécutives de la forme , il suffit de considérer des variables consécutives et . Pour la symétrie, il suffit que les n – 1 égalités

valent pour .

Échanges avec une variable fixée[modifier | modifier le code]

On peut aussi bien considérer les transpositions de la forme . Une fonction est alors symétrique lorsque l'on peut échanger la première et la -ème variable sans changer la valeur de la fonction, en d'autres termes, lorsque

pour . À la place de la première variable, on peut choisir toute autre variable.

Critère minimal[modifier | modifier le code]

Un ensemble générateur du groupe symétrique est formé des deux permutations et . Il suffit donc, pour qu'une fonction soit symétrique, qu'elle vérifie seulement les deux égalités

et

.

La paire formée de et peut aussi être remplacée par n'importe quelle permutation circulaire et toute transposition d'éléments consécutifs dans ce cycle.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Lorsque les fonctions sont à valeurs réelles ou complexes, les fonctions symétriques forment une sous-algèbre de l'algèbre des fonctions à n variables, c'est-à-dire :

  • la somme de deux fonctions symétriques est encore une fonction symétrique ;
  • le produit de deux fonctions symétriques est encore une fonction symétrique.

Toute fraction rationnelle symétrique (sur un corps commutatif) est le quotient de deux polynômes symétriques.

Symétrisation[modifier | modifier le code]

Sur un corps de caractéristique 0, la symétrisation est la sommation d'une fonction sur toutes les permutations possibles de variables, pondérée par n!. C'est l'expression

.

Par construction, la fonction est symétrique. L'opérateur de symétrisation est une projection de l'espace des fonctions sur le sous-espace des fonctions symétriques.

Extensions[modifier | modifier le code]

Le théorème fondamental des polynômes symétriques, ou théorème de Newton, affirme que tout polynôme symétrique est un polynôme en les polynômes symétriques élémentaires ; il s'étend aux séries formelles[1]. Des résultats analogues sont valables pour des fonctions continues, des fonctions holomorphes et des fonctions lisses (fonctions ). On a

,

où les sont les fonctions symétriques élémentaires[2].

Plus généralement, soit un groupe compact opérant linéairement sur , et soient des opérateurs homogènes générateurs de l'anneau des invariants . Soit l'application correspondante. Alors l'application

est surjective[3], ce qui est le théorème fondamental pour les fonctions lisses invariantes. Ce résultat est basé sur le théorème de préparation de Malgrange, qui est un analogue du théorème de préparation de Weierstrass.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Symmetrische Funktion » (voir la liste des auteurs).
  1. N. Bourbaki, Algèbre : chapitres 4 à 7, Springer, (lire en ligne), p. IV.57 et suivantes.
  2. Georges Glaeser, « Fonctions composées différentiables », Ann. of Math., vol. 77, no 2,‎ , p. 193-209 (Math Reviews 0143058, zbMATH 0106.31302).
  3. (en) Gerald W. Schwarz, « Smooth functions invariant under the action of a compact Lie group », Topology, vol. 14,‎ , p. 63-68 (Math Reviews 0370643, zbMATH 0297.57015).

Annexes[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Algèbre symétrique

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]