Fonction négligeable

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En mathématiques, la notion de prépondérance ou de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » localement sur une autre. On dit que la première fonction est prépondérante devant la deuxième ou que la deuxième fonction est négligeable devant la première. Cette notion fait partie, comme la domination et l'équivalence, des relations de comparaison.

En physique, une quantité l'est par rapport à une autre si ses effets le sont par rapport à ceux de l'autre. Par exemple, la masse d'une fourmi est négligeable devant celle d'un l'éléphant, et la masse de l'ensemble peut être assimilée à celle du pachyderme.

Définition en mathématiques[modifier | modifier le code]

Soient I une partie de , a un élément de = ℝ ∪ {–∞, +∞} adhérent à I, et f et g deux applications de I vers .

On dit que f est négligeable devant g (ou que g est prépondérante devant f) au voisinage de a, si :

il existe une fonction de limite nulle en a telle que, sur un voisinage de a, ,

ce qui se traduit :

  • si , par :  ;
  • si (resp. ), par : .

Une caractérisation plus commode, dans le cas où g est (sauf peut-être en a) non nulle sur un voisinage de a, est :

f est négligeable devant g au voisinage de a si et seulement si :
.

On écrit alors , qui se lit « f est un petit o de g au voisinage de a ». C'est une des notations de Landau.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si et alors .
  • Si et alors ,
    en particulier, si et est bornée au voisinage de a, alors .
  • Si et , ou si et , alors
    en particulier, est transitive.
  • .

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle[modifier | modifier le code]

Échelle de comparaison[modifier | modifier le code]

Une échelle de comparaison est[1] une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non équivalentes à 0 en a, telle que :

.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient f une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur , et une échelle de comparaison en a.

On dit que f admet la fonction comme partie principale par rapport à l'échelle s'il existe un réel A non nul tel que (ou )[2].

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Unicité en cas d'existence
  • Soient et admettant respectivement et comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison .
  1. La partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison est la même que celle de .
  2. Si alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison .
  3. Si et alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison .

Comparaison pour les suites[modifier | modifier le code]

Une suite n'est qu'un cas particulier de fonction, définie sur , auquel est adhérent.

Par conséquent, une suite de nombres réels est négligeable devant une suite réelle si et seulement si :

il existe une suite de limite nulle telle que, à partir d'un certain rang,

ou encore :

,

ce qui, lorsque ne s'annule pas à partir d'un certain rang, équivaut à :

.

On note : .

Références[modifier | modifier le code]

  1. Bernard Randé, Procédés sommatoires – Développements asymptotiques, Techniques de l'ingénieur, (lire en ligne), p. 4.
  2. Randé 2004, p. 5.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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