Fonction négligeable

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 Ne pas confondre avec Ensemble négligeable en théorie de la mesure
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En mathématiques, la notion de prépondérance ou de négligeabilité exprime le fait qu'une fonction numérique « l'emporte » localement sur une autre. On dit que la première fonction est prépondérante devant la deuxième ou que la deuxième fonction est négligeable devant la première.

En physique, une quantité l'est par rapport à une autre si ses effets le sont par rapport à ceux de l'autre. Par exemple, la masse d'une fourmi est négligeable devant celle d'un l'éléphant, et la masse de l'ensemble peut être assimilée à celle du pachyderme.

Définition en mathématiques[modifier | modifier le code]

Soient une partie de , a un point de l'adhérence de , et des applications de vers

Lorsque a est réel, on dit que est négligeable devant (ou que est prépondérante devant ) au voisinage de a si et seulement si :

Dans le cas où a est égal à , on dit que est négligeable devant au voisinage de a si et seulement si :

Une définition équivalente et plus utile en pratique pour montrer qu'une fonction l'emporte sur l'autre au voisinage d'un point a est, dans le cas où est (sauf peut-être en a) non nulle sur un voisinage de a: est négligeable devant au voisinage de a si et seulement si :

On écrit alors qui se lit « f est un petit o de g au voisinage de a ». C'est une des notations de Landau.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si et alors pour tous réels et ,
  • Si et alors
  • Si et bornée au voisinage de a alors
  • Si et alors (transitivité)

Partie principale d'une fonction par rapport à une échelle[modifier | modifier le code]

Échelle de comparaison[modifier | modifier le code]

Une échelle de comparaison est une famille de fonctions définies au voisinage de a (sauf peut-être en a), non-équivalentes à 0 en a, telle que :

Définition[modifier | modifier le code]

Soient une fonction définie dans un voisinage V de a (sauf peut-être en a), ne s'annulant pas sur , une échelle de comparaison en a. On dit que admet la fonction comme partie principale par rapport à l'échelle si et seulement s'il existe un réel A non nul tel que (ou ).

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Unicité en cas d'existence
  • Soient et admettant respectivement et comme partie principale par rapport à l'échelle de comparaison .
  1. La partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison est la fonction .
  2. Si alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison .
  3. Si et que alors est la partie principale de par rapport à l'échelle de comparaison .

Comparaison pour les suites[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Une suite de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle lorsque :

Une définition équivalente : une suite de nombres réels est dite négligeable devant une suite réelle lorsqu'il existe une suite de limite nulle telle que :

On note:

Proposition équivalente[modifier | modifier le code]

Une définition plus utile en pratique pour montrer qu'une suite est négligeable devant une autre est, lorsque ne s'annule pas à partir d'un certain rang :

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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