Fonction partielle

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En mathématiques une fonction partielle (quelquefois appelée simplement fonction) sur un ensemble donné E est une application définie sur une partie de celui-ci, appelé domaine de définition de la fonction partielle.

Cette notion apparait en particulier en théorie de la calculabilité, qui s'intéresse aux fonctions partielles récursives : celles-ci sont définies sur une partie de N, l'ensemble des entiers naturels, ou plus généralement de Np, et l'ensemble de définition d'une fonction partielle récursive ne peut éventuellement pas se définir a priori, c'est-à-dire autrement qu'en indiquant que ce sont les entiers (ou uples d'entiers) pour lesquels le calcul qui permet de définir la fonction aboutit.

Définitions[modifier | modifier le code]

Une fonction partielle d'un ensemble E dans un ensemble F est un couple (Df, f) constitué d'un sous-ensemble Df de E et d'une application de Df dans F. On dit que f est définie en xE quand xDf, et Df est appelé ensemble de définition de f[1].

Un exemple de fonction partielle est la fonction nulle part définie, celle dont le domaine de définition est vide.

Une fonction partielle f de E dans F est dite totale quand f est partout définie sur E, c'est-à-dire que E = Df[2].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Yuri Manin, A Course in Mathematical Logic, Neal Koblitz (trans.), New York, Springer-Verlag, 1977, p 178
  2. (en) P. Odifreddi, Classical Recursion Theory, North-Holland, 1989 (ISBN 0-44487-295-7), p. 129, dans le cas des fonctions partielles récursives