Fonction multivaluée

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Ce diagramme représente une multifonction : à chaque élément de X on fait correspondre une partie de Y ; ainsi à l'élément 3 de X correspond la partie de Y formée des deux points b et c.

En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance[1],[2], fonction multiforme[2], fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque[2], improprement appelée fonction car non fonctionnelle : à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble[3]. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que la fonction est univoque.

Un exemple simple de fonction multivaluée est la fonction réciproque d'une application non injective : à tout point dans son image on fait correspondre l'image réciproque formée des antécédents de ce point.

Les fonctions multivaluées apparaissent en analyse complexe où l'on peut en considérer des déterminations, c'est-à-dire des restrictions sur ces relations qui en font des fonctions et qui permettent de calculer certaines intégrales réelles par le biais du théorème des résidus comme ce sera illustré plus bas ; l'utilisation en est cependant malaisée et a été remplacée par la considération plus abstraite de fonctions (univaluées) sur des surfaces de Riemann.

Les multifonctions se rencontrent également en analyse convexe et non lisse : les cônes tangent et normal à un ensemble, le sous-différentiel d'une fonction, un processus convexe sont des multifonctions. Cette observation et d'autres ont donné une nouvelle impulsion au développement de l'analyse multifonctionnelle (voir la bibliographie).

Exemples[modifier | modifier le code]

La racine carrée[modifier | modifier le code]

Article détaillé : racine carrée.
Article détaillé : racine d'un nombre complexe.
  • Dans les réels, à chaque élément positif x, la relation "racine carrée" fait correspondre deux éléments et avec . On se restreint de manière habituelle à la valeur positive pour avoir alors la fonction racine carrée.
  • Dans les complexes, en définissant un élément z du plan complexe par avec l'argument de z, les racines carrées de z sont les nombres () donnés par :
on vérifie en effet que puisque vaut l'unité pour tout entier k.

Le logarithme complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : logarithme complexe.

En définissant un élément z du plan complexe comme précédemment, les logarithmes complexes de z sont les nombres () donnés par :

on vérifie en effet que puisque, comme précédemment, vaut l'unité pour tout entier k.

Définitions[modifier | modifier le code]

Multifonction[modifier | modifier le code]

Soient et deux ensembles. Une multifonction est une application qui à un élément fait correspondre une partie de . Il s'agit donc d'une fonction de dans l'ensemble des parties de .

Ce n'est cependant pas le point de vue de fonction à valeurs dans qui prime dans certaines définitions. Ainsi, on appelle graphe de le graphe de cette relation binaire, c'est-à-dire la partie de , et non pas de , suivante

En fait, toute partie de est le graphe de la multifonction définie par . Il y a donc une bijection entre les multifonctions et les parties de .

Domaine, image, sélection[modifier | modifier le code]

Le domaine — ou ensemble de définition[2] — et l'image — ou ensemble des valeurs (ou ensemble des images)[2] — de se définissent respectivement par

et sont les projections canoniques sur et .

L'image d'une partie est définie par

Clairement, .

Une sélection de est une fonction telle que, pour tout , on a .

Multifonction réciproque[modifier | modifier le code]

La multifonction réciproque de la multifonction est sa relation binaire réciproque, définie en par

Pour et , on a

ce qui s'exprime aussi par

Ceci permet de voir que

et pour une partie  :

Quelques multifonctions particulières[modifier | modifier le code]

  • Si et sont des espaces topologiques, on dit qu'une multifonction est fermée si son graphe est fermé dans l'espace topologique produit .
  • Si et sont des espaces vectoriels réels, on dit qu'une multifonction est convexe si son graphe est convexe dans l'espace vectoriel produit .
  • Si et sont des espaces vectoriels réels, on dit qu'une multifonction est un processus convexe si son graphe est un cône convexe pointé dans l'espace vectoriel produit .
  • Si est un espace préhilbertien dont le produit scalaire est noté , on dit qu'une multifonction est un opérateur monotone s'il vérifie la propriété de monotonie suivante : pour tout et tout .

Analyse multifonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'analyse multifonctionnelle s'intéresse à l'étude des multifonctions, à leur hémicontinuité, à leur caractère borné, à leur lipschitzianité, aux multifonctions polyédriques, à la recherche de leurs zéros (des points qui contiennent zéro dans leur image), etc.

Certaines propriétés s'étendent naturellement aux multifonctions, comme la convexité, l'ouverture, la monotonie, l'accrétivité, etc.

Théorème de l'application ouverte pour les multifonctions[modifier | modifier le code]

Soient et des espaces de Banach, dont on note respectivement et les boules-unités ouvertes, et une multifonction.

Le résultat ci-dessous[4] affirme que si est une multifonction convexe fermée et si est intérieur à son image , alors est intérieur à l'image par de toute boule ouverte centrée en un point arbitraire de l'image réciproque de par On retrouve bien le théorème de l'application ouverte dans le cas où est une application linéaire continue (d'où son nom), lequel affirme que est intérieur à l'image de la boule-unité . En effet, dans ce cas est une multifonction convexe (son graphe est un sous-espace vectoriel) et fermée (sens évident du théorème du graphe fermé), est bien dans l'intérieur de (car est surjective) ; le théorème ci-dessous affirme alors que est intérieur à l'image par de toute boule de rayon non nul centrée en (ou tout autre point de d'ailleurs). On note l'intérieur d'une partie

Théorème de l'application ouverte pour les multifonctions — On suppose que et sont des espaces de Banach, que est une multifonction convexe et fermée et que Alors

Multifonction ouverte ou métriquement régulière[modifier | modifier le code]

Soient et des espaces de Banach, dont on note respectivement et les boules-unités ouvertes, et une multifonction[5].

On dit que est ouverte en , avec un taux , s'il existe un rayon maximal et un voisinage de dans , tels que pour tout et tout , on a

Pour une application convexe, on peut se restreindre à une condition en seulement.

Multifonction convexe ouverte — Si est une multifonction convexe et si , alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. est ouverte en ,
  2. il existe et tels que .

Pour une application convexe fermée, le théorème de l'application ouverte permet de simplifier encore l'expression de l'ouverture de en .

Multifonction convexe fermée ouverte[6] — Si est une multifonction convexe fermée et si , alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. est ouverte en ,
  2. .

Ce concept d'ouverture d'une multifonction est en réalité identique à celui de régularité métrique.

On dit que est métriquement régulière en , avec un taux , s'il existe un voisinage de dans , tels que pour tout , on a

On rappelle que la distance à un ensemble est définie par, et que celle-ci vaut si .

Multifonction ouverte et métriquement régulière — Si est une multifonction et si , alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

  1. est métriquement régulière en avec un taux ,
  2. est ouverte en avec un taux .

Déterminations[modifier | modifier le code]

Pour la racine carrée complexe et le logarithme complexe, on appelle détermination une restriction sur l'argument de la valeur correspondante. Plus explicitement, une détermination pour la racine carrée est donnée par :

avec un angle quelconque caractérisant la détermination.

De même, une détermination pour le logarithme complexe est donnée par :

On appelle détermination principale du logarithme la restriction de l'argument à l'intervalle semi-ouvert ]–π, π].

Remarquons que, à une détermination près, la fonction racine carrée complexe et le logarithme complexe sont des fonctions holomorphes sur tout le plan complexe excepté la demi-droite partant de l'origine et d'angle par rapport à l'axe des abscisses. Dans le cas de la détermination principale, les deux fonctions sont holomorphes sur . La discontinuité sur l'axe réel négatif est illustrée sur les deux figures ci-dessous.

Application au calcul d'intégrales réelles[modifier | modifier le code]

Considérer une détermination particulière permet, en s'aidant du théorème des résidus, de calculer certaines intégrales réelles qu'il serait autrement ardu de calculer.

Remarque : la relation suivante est souvent utilisée comme ce sera illustré dans l'exemple ci-dessous : .

Exemple avec le logarithme complexe[modifier | modifier le code]

Figure 3 : Illustration du contour (en bleu) employé pour le premier exemple. Les deux pôles simples ±i sont représentés en rouge. La partie représente le cercle extérieur de rayon R, la partie représente le demi-cercle intérieur de rayon . sont les deux segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante :

pour .

Solution : en considérant le contour illustré à la figure 3 ainsi que la détermination suivante du logarithme :

(le contour « entoure » donc la discontinuité de la détermination que nous avons choisie), on obtient :

Exemple avec la racine carrée complexe[modifier | modifier le code]

Figure 4 : Illustration du contour (en bleu) employé pour le second exemple. Les deux points de branchement sont représentés en rouge. Le pôle simple restant (l'origine) est représenté en vert. représente le cercle extérieur de rayon R, et son homologue représentent les demi-cercles intérieurs de rayon , les sont les segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :

(la fonction est uniformisée par la coupure le long de l'axe réel reliant à -1 et 1 à .)

Solution : l'intégrande a une primitive (à savoir ) et on a donc immédiatement . On obtient ce même résultat en considérant le contour illustré à la figure 4 ci-contre et en utilisant :

Pour le premier terme du produit, on considèrera la détermination suivante :

,

pour l'autre, on considérera la détermination principale :

.

sous ces déterminations, la fonction est holomorphe sur .

Surfaces de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : surface de Riemann.
Surface de Riemann associée à la fonction racine carrée.

La théorie peu opérante des fonctions multivaluées pour les fonctions de la variable complexe est remplacée dans les mathématiques modernes par le concept plus abstrait de fonction (univaluée) définie sur une surface de Riemann.

Ce point de vue consiste à considérer le domaine de définition d'une fonction multivaluée comme un objet plus élaboré que le plan complexe : une variété complexe de dimension 1.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Aubin et Frankowska 2009, p. 33.
  2. a, b, c, d et e Mercier 2012, p. 104.
  3. Aubin et Frankowska 2009.
  4. Dû à Ursescu (1975) et Robinson (1976).
  5. Le contenu de cette section est issu de la section 2.3.2 de Bonnans et Shapiro (2000).
  6. C'est ici qu'entrent en conflit les appellations ouverte et fermée. Elles sont pourtant utilisées comme cela.
  7. On parle ici de singularité au sens large du terme (et donc pas uniquement d'une singularité isolée) c'est-à-dire que la fonction n'est pas analytique en la singularité mais que n'importe quel voisinage ouvert non vide de la singularité contient au moins un point pour lequel la fonction est analytique (Mathews et Howell 1997, p. 232).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J.-P. Aubin et Arrigo Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (de) (no 264), Springer Verlag, Berlin, 1984
  • (en) Jean-Pierre Aubin et Hélène Frankowska, Set-Valued Analysis, Springer, (1re éd. 1990, Birkhäuser) (lire en ligne)
  • (en) J.F. Bonnans and A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer Verlag, New York.
  • (en) John H. Mathews et Russel W. Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering, Jones and Bartlett Publishers International, , 3e éd. (ISBN 0-7637-0270-6)
  • Dany-Jack Mercier, Acquisition des fondamentaux pour les concours, vol. 1, Publibook, (lire en ligne)
  • (en) S.M. Robinson (1976). Regularity and stability for convex multivalued functions. Mathematics of Operations Research, 1(2), 130-143. doi
  • (en) R. T. Rockafellar et R. Wets, Variational Analysis, coll. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (no 317), Springer, 1998
  • (en) Murray R. Spiegel, Variables Complexes, Schaum, 1973 (ISBN 2-7042-0020-3)
  • (en) C. Ursescu (1975). Multifunctions with convex closed graph. Czechoslovak Mathematical Journal, 25(3), 438-441.