Nombre tétraédrique

Le 5^e nombre tétraédrique est 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35.

En arithmétique géométrique, un nombre tétraédrique, ou nombre pyramidal triangulaire, est un nombre figuré qui peut être représenté graphiquement par une pyramide de base triangulaire, c'est-à-dire un tétraèdre, dont chaque couche représente un nombre triangulaire. Pour tout entier naturel $n$ non nul, le n-ième nombre pyramidal triangulaire, somme des $n$ premiers nombres triangulaires, est donné par les formules  :

$P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={n+2 \choose 3},$

où ${i \choose j}$ est le symbole du coefficient binomial. Les nombres tétraédriques sont donc ceux de la quatrième colonne du triangle de Pascal.

Les nombres tétraédriques sont ceux de la colonne d'indice 3 du triangle de Pascal

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Les dix premiers sont 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165 et 220.

Le 22^e est 2024.

Démonstration de la formule

Comme le k-ième nombre triangulaire est égal à ${k(k+1) \over 2}={\binom {k+1}{2}}$, on a, d'après la formule d'itération de Pascal :

$P_{n}^{(3)}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {k+1}{2}}=\sum _{k=2}^{n+1}{\binom {k}{2}}={n+2 \choose 3}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$.

Ceci est en fait un cas particulier de la construction des nombres simpliciaux ; Le nombre tétraédrique $P_{n}^{(3)}$ est le n-ième nombre 3-simplicial $S_{3}(n)$.

On peut aussi obtenir $P_{n}^{(3)}$ à partir de la formule générale des nombres polyédriques réguliers $P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {d(k-2)^{2}(d-2)}{2D}}n^{2}+{\frac {d(k-2)}{2}}n+1$ où $k=d=3,D=2(k+d)-kd=3$, qui donne $P_{n+1}^{(3)}-P_{n}^{(3)}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$, puis $P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}$.

Propriétés

La suite d'entiers $(P_{n}^{(3)})$, réduite modulo 2, est de période 4.

Les seuls nombres tétraédriques carrés sont P₁⁽³⁾ = 1 = 1², P₂⁽³⁾ = 4 = 2² et P₄₈⁽³⁾ = 19 600 = 140².

Les seuls nombres tétraédriques triangulaires sont 1, 10, 120, 1540 et 7140 : suite A027568 de l'OEIS

Le seul nombre tétraédrique pyramidal carré est 1.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tetrahedral number » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Conjectures de Pollock
• Empilement compact