Empilement compact

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Empilement compact: Le moyen le plus efficace pour ranger des cercles de différentes tailles n'est pas si évident; comme nous pouvons le constater avec ces rondelles d'agrumes.

L'empilement compact est la manière d'agencer des sphères dans l'espace afin d'avoir la plus grande densité de sphères, sans que celles-ci se recouvrent.

C'est un problème que l'on se pose en général en géométrie euclidienne dans l'espace à trois dimensions, mais on peut aussi le généraliser au plan euclidien (les « sphères » étant alors des cercles), dans un espace euclidien à n dimensions (n > 3), avec des hypersphères, ou dans un espace non euclidien.

Un diagramme montrant un empilement compact de cercles, boules ou sphères dans un espace carré. L'agencement de base en dimension 2 est de forme hexagonale.

Arrangement compact de cercles dans un plan[modifier | modifier le code]

Sur un plan, on peut disposer au maximum six cercles de rayon r autour d'un cercle de même rayon. Les centres de trois cercles en contact définissent un triangle équilatéral puisqu'ils sont distants de 2r les uns des autres. Chaque angle valant 60° (π/3), on peut mettre ainsi 6 triangles avec un sommet en commun pour former un hexagone régulier.

On peut constater aisément que c'est l'organisation la plus compacte qui soit en rangeant des billes de même volume dans une enceinte de taille appropriée.

La densité surfacique de cet arrangement est :

Joseph-Louis Lagrange prouva en 1773 qu'aucun arrangement régulier n'est plus dense. Tel n'est pas le cas lorsque les cercles n'ont pas la même taille (voir l'arrangement de rondelles d'agrumes).

Empilement compact de sphères[modifier | modifier le code]

légende=Arrangement en quinconce d'un plan compact.
légende=Deux manières d'empiler trois plans compacts.
Empilement compact de 35 sphères.

Considérons trois sphères en contact sur un plan (plan A). On peut placer une quatrième sphère posée sur le creux entre les trois premières, les centres des sphères formant un tétraèdre régulier.

En positionnant ainsi des sphères dans les creux du plan compact A, on obtient un deuxième plan compact (plan B). Gauss montra que cette organisation était l'organisation régulière ayant la plus grande densité[a 1]. En 1611, Johannes Kepler conjectura que c'était l'arrangement spatial le plus compact (conjecture de Kepler). En 1831, Carl Friedrich Gauss montra cette conjecture sous l'hypothèse d'un arrangement régulier (sur un réseau). Le cas général a été prouvé par Thomas Hales en 1998 (suivi de quatre années de vérifications par des mathématiciens) et formellement prouvé en 2014 toujours par Thomas Hales.

Lorsque l'on ajoute un troisième plan, on peut mettre les sphères soit en correspondance avec celles du premier plan (plan A), soit dans une troisième possibilité de placement définissant un nouveau plan compact (plan C).

Il existe ainsi trois types de plans compacts A, B et C qui peuvent en se combinant engendrer une infinité de types d'empilements compacts :

  • A-B-A-B… empilement dit « hexagonal compact » ;
  • A-B-C-A-B-C… empilement dit « cubique à faces centrées » ;
  • A-B-A-C-A-B-A-C… ;
  • A-B-C-B-A-B-C-B… ;

Quel que soit l'arrangement, chaque sphère est entourée de 12 autres sphères et la densité volumique vaut dans tous les cas :

Dimensions plus élevées[modifier | modifier le code]

Agencement en dimension 3 : Schéma montrant un empilement compact de sphères dans un espace en prisme hexagonal.
Agencement en dimension 3 : Schéma montrant un empilement compact de sphères dans un espace cubique.

Dans les espaces euclidiens de dimension supérieure à 3, le problème d'empilement compact se généralise aux hypersphères. Les densités des arrangements réguliers les plus compacts sont connues jusqu'en dimension 8 et pour la dimension 24 (voir l'article constante d'Hermite).

Asymptotiquement, la densité de l'arrangement le plus compact (régulier ou non) décroît exponentiellement en fonction de la dimension n. Il n'y a pas de raison de penser que les arrangements les plus denses soient réguliers en général. Néanmoins le meilleur encadrement connu sur est le même dans les deux cas[a 2] :

Application en cristallographie[modifier | modifier le code]

En cristallographie, les atomes ou les ions peuvent s’organiser en couches compactes. C'est notamment le cas pour les structures métalliques, les cristaux n'étant formés que d'un seul type de particules. Si on les modélise par des sphères, l’empilement est compact lorsque les sphères sont en contact.

Les deux principaux types d'empilement compact sont :

Exemples :

La densité volumique porte le nom de compacité. Le taux de remplissage est d'environ 74 % (26 % de vide).

Notes et références[modifier | modifier le code]

Empilement compact de Boulets de canons empilés sous les murs du fort Monroe à Hampton, en Virginie (États-Unis).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  1. Chapitre 1, p. 8
  2. Chapitre 1, p. 20

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]