Fraction continue d'un irrationnel quadratique

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Joseph-Louis Lagrange établit de manière rigoureuse les propriétés des fractions continues des irrationnels quadratiques.

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la fraction continue d'un irrationnel quadratique correspond à la représentation de ce nombre sous la forme suivante :

a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3+\,\cdots}}},\quad \forall i \in\N \quad a_i \in \mathbb N

Si le nombre irrationnel représenté est quadratique, c'est-à-dire s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels, alors la suite d'entiers (an) est périodique à partir d'un certain rang.

L'intérêt de l'étude de la fraction continue d'un irrationnel quadratique ne se résume pas à cela. La simplicité de l'algorithme permettant de déterminer les coefficients de la fraction en a fait pendant longtemps une méthode d'extraction de racine carrée. La connaissance de la fraction continue permet, aussi, entre autres, de résoudre la célèbre équation diophantienne dite de Pell-Fermat :  x^2 -  ny^2 = \pm 1.

Préambule[modifier | modifier le code]

Introduction sur un exemple[modifier | modifier le code]

Le calcul de la fraction continue d'un irrationnel quadratique est relativement aisée, l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a2 - b2 est utilisée à chaque étape. L'exemple suivant en est une illustration :

\sqrt{13}=3+(-3+\sqrt{13})=3+\frac{(\sqrt{13}-3)(\sqrt{13}+3)}{\sqrt{13}+3}=3+\frac4{3+\sqrt{13}}=3+\frac1{\frac{\sqrt{13}+3}4}

et

a_0=3,~x_1=\frac{\sqrt{13}+3}4.

Il est possible d'appliquer à nouveau le même algorithme sur x1 :

\frac{\sqrt{13}+3}4=1+\frac{\sqrt{13}-1}4=1+\frac1{\frac{\sqrt{13}+1}3}\quad\text{donc}\quad\sqrt{13}=3+\cfrac1{1+\cfrac1{\frac{\sqrt{13}+1}3}}

et

a_1=1,~x_2=\frac{\sqrt{13}+1}3.

Puis sur x2 :

\frac{\sqrt{13}+1}3=1+\frac1{\frac{\sqrt{13}+2}3}\quad\text{donc}\quad\sqrt{13}=3+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\frac1{\frac{\sqrt{13}+2}3}}}\quad\text{et}\quad a_2=1,~x_3=\frac{\sqrt{13}+2}3.

Avec, ensuite :

\frac{\sqrt{13}+2}3=1+\frac1{1+\frac1{6+\frac1{\frac{\sqrt{13}+3}4}}}\quad\text{et}\quad a_3=1,~a_4=1,~a_5=6,~x_5=\frac{\sqrt{13}+3}4.

Le vocabulaire et les notations utilisés ici sont ceux définis dans l'article Fraction continue. Le coefficient d'indice n de la fraction continue correspond au coefficient an utilisé dans l'introduction. La réduite d'indice n désigne la fraction continue tronquée contenant n barres de fraction et construite à l'aide de n + 1 coefficients, elle est notée hn / kn. Le quotient complet est la valeur, noté xn tel que si l'on remplace an-1 par an-1 + 1/ xn dans l'expression de la réduite d'indice n - 1, on obtient exactement le nombre initial. Le quotient complet x0 est la valeur initiale, 13 dans l'exemple choisi.

Le coefficient an correspond à la partie entière du quotient complet xn et le quotient complet xn+1 à l'inverse de la partie fractionnaire de xn. Pour résumer, on obtient :

\sqrt{13}=3+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\cfrac1{1+\frac1{1+\frac1{6+\cdots}}}}}\quad{et}\quad\frac{h_0}{k_0}=\frac31,~\frac{h_1}{k_1}=\frac41,~\frac{h_2}{k_2}=\frac72,~\frac{h_3}{k_3}=\frac{11}3,~\frac{h_4}{k_4}=\frac{18}5,~\frac{h_5}{k_5}=\frac{119}{33}.

Cette notation étant un peu lourde, on utilise de préférence la suivante, ayant la même signification :

\sqrt{13}=[3,1,1,1,1,6 \cdots].

Enfin, que le quotient complet x5 est égal à x1, ce qui permet de conclure que la suite des coefficients se répète à partir du rang 1. On parle de suite périodique à partir d'un certain rang et on utilise la notation :

\sqrt{13}=[3,\overline{1,1,1,1,6}].

La barre utilisée ici est d'un usage fréquent dans la littérature. Elle signifie une répétition à l'infini de la suite d'entiers couverte par la barre.

Éléments d'histoire[modifier | modifier le code]

Pierre de Fermat est à l'origine du défi lancé aux mathématiciens qui est à l'origine d'un large développement du savoir sur les fractions continues des irrationnels quadratiques.

Dès le VIe siècle, Âryabhata (476 - 550), un mathématicien indien, utilise les fractions continues pour obtenir des rationnels proches de racines carrés[1]. Si Brahmagupta (598668) un autre mathématicien indien s'intéresse à l'équation de Pell-Fermat et améliore la méthode dite chakravala pour la résoudre, il faut attendre le XIIe siècle et Bhāskara II pour voir une approche analogue à celles des fractions continues appliquées à cette équation. Son algorithme correspond à celui de l'article à la différence que a0 est défini comme la plus proche valeur entière du nombre à approcher et non celle toujours inférieure. Cette différence est reportée à tous les coefficients an qui peuvent devenir négatifs. Cette spécificité accélère un peu la recherche de la solution.

Ce n'est que plus tard que l'Europe s'intéresse à une démarche de cette nature. Il faut attendre le XVIe siècle pour que Rafael Bombelli fasse usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la racine carrée de 13[2]. Pietro Antonio Cataldi comprend la portée de la méthode de Bombelli et l'applique à toutes les racines carrées, dans un petit opuscule à ce sujet[3], il choisit l'exemple de la valeur 18. On retrouve des résultats de même nature chez Albert Girard[4] en 1625, puis 1634, pour approcher 2 et 10.

À la suite d'un défi lancé par Pierre de Fermat en 1657, William Brouncker, trouve de manière empirique les relations qui relient la fraction continue d'un irrationnel quadratique à l'équation de Pell-Fermat. Il est probable que Bernard Frénicle de Bessy connaissait aussi cette méthode pour résoudre l'équation de Pell-Fermat dont il trouve toutes les solutions pour n plus petit que 150, ces travaux ont été perdus. Il défie Brouncker de trouver une solution à l'équation pour n = 313. Dans sa réponse, il indique qu'il ne lui a pas fallu plus d'une heure ou deux pour la trouver. La réponse est la suivante, pas nécessairement immédiate à calculer manuellement :

x= 32\,188\,120\,829\,134\,849 \quad \text{et} \quad y = 1\,819\,380\,158\,564\,160\;

Ces informations proviennent d'une intense relation épistolaire entre les différents acteurs, qui est finalement[5] publié par John Wallis en 1658.

Le siècle suivant est celui des preuves. Leonhard Euler reprend les travaux de Brouncker et ceux de Wallis, et démontre rigoureusement tous les aspects un peu élémentaires de la théorie, il montre aussi que si la représentation en fraction continue d'un nombre est périodique, à partir d'un certain rang, alors ce nombre est un irrationnel quadratique[6]. Il faut encore attendre les travaux de Joseph-Louis Lagrange pour la démonstration d'une réciproque ainsi que des raisons de la validité de la méthode Bhāskara II ou de celle de Brouncker[7]. Les propriétés de la fraction continue d'un irrationnel quadratique sont alors essentiellement élucidées, il ne reste plus qu'à comprendre dans quel cas une fraction continue n'est pas simplement périodique à partir d'un certain rang, mais périodique pure, ce qui est l'œuvre[8] d'Évariste Galois (1811 - 1832).

Première propriété[modifier | modifier le code]

Les irrationnels quadratiques sont les nombres de la forme a + b d avec a et b rationnels, b non nul, et d > 1 entier sans facteur carré. Le calcul pratique de leurs fractions continues est facilité par la propriété :

  • Les quotients complets d'un irrationnel quadratique sont des irrationnels quadratiques.

Cette propriété se démontre par récurrence. À l'ordre 0, le quotient complet est l'irrationnel quadratique de départ. Supposons la propriété vraie à l'ordre n et montrons-la à l'ordre suivant. xn est un irrationnel quadratique donc an + 1xn aussi. Notons-le a + bd, la transformation suivante montre que (a + bd)–1, égal au quotient complet d'indice n + 1, est aussi quadratique :

\frac 1{a + b \sqrt d} = \frac {a - b \sqrt d}{(a + b \sqrt d)(a - b \sqrt d)} = \frac a{a^2 - d b^2} - \frac b{a^2 - d b^2}\sqrt d.

(L'expression au dénominateur ne peut être nulle : si elle l'était, la racine de d serait un rationnel et d ne pourrait être un entier sans facteur carré.)

Période[modifier | modifier le code]

Une autre propriété simplifie la détermination d'un irrationnel quadratique sous forme de fraction continue :

Un irrationnel possède un développement en fraction continue périodique à partir d'un certain rang si et seulement s'il est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels.

Si le développement de x est périodique à partir du rang p alors il existe un entier n tel que l'égalité suivante soit vérifiée. Ce qui justifie la notation, déjà utilisée dans le préambule :

x =[a_0, a_1,\cdots, a_{p-1}, a_p,\cdots a_n,a_p, a_{p+1}\cdots \;] =[a_0, a_1,\cdots, a_{p-1},\overline{a_p, a_{p+1},\cdots a_n}]\;

Cette proposition est au cœur de l'intérêt de la notion de fraction continue pour les irrationnels quadratiques. Autant il est relativement simple de montrer qu'un nombre ayant une fraction continue périodique à partir d'un certain rang est nécessairement quadratique, autant la réciproque est un peu plus délicate. Sa preuve date de plus d'un siècle après la découverte de cette propriété et est l'œuvre de Lagrange. La démonstration présentée ici[9] est relativement proche de l'originale[10].

Développement purement périodique[modifier | modifier le code]

Il est possible d'aller un peu plus loin sur les propriétés de la fraction continue d'un irrationnel quadratique. Certains nombres possèdent un développement purement périodique, c'est-à-dire dès le premier coefficient. C'est le cas, par exemple, du nombre d'or φ. En effet,

\varphi = 1 + \frac 1{\varphi} = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{\varphi}} = \cdots \quad\text{et}\quad \varphi = [1,1,1,\cdots] = [\overline{1}].

La question se pose de savoir dans quel cas le développement en fraction continue est périodique pur. Le nombre x est nécessairement un irrationnel quadratique et s'écrit donc r + r' DD est un entier et n'est pas un carré. La réponse s'exprime en fonction de xc = r – r' D (le nombre xc est appelé l'élément conjugué de x).

Le résultat ci-dessous a été prouvé par Évariste Galois alors qu'il était encore lycéen.

  • Le développement de x est purement périodique si et seulement si x > 1 et –1 < xc < 0, où xc désigne l'élément conjugué de x[9].

Les démonstrations utilisent les techniques de l'arithmétique. Il en existe de plusieurs natures. Les plus simples sont présentées dans l'article Méthode chakravala. La démonstration historique, présentée ici, utilise d'autres techniques liées aux propriétés des formes quadratiques à coefficients entiers[9].

Palindrome[modifier | modifier le code]

La propriété précédente permet d'obtenir une description plus précise du développement en fraction continue d'une racine d'un entier non carré parfait :

  • Si d est un entier, non carré, la fraction continue de d prend la forme suivante[11] :
\sqrt d = [a_0, \overline{a_1, a_2, a_3 \cdots a_3,a_2,a_1, 2a_0}]\;

Si l'on élimine le dernier terme 2a0 la période est symétrique et forme un palindrome. La partie symétrique pouvant ou non avoir un terme médian.

Dans le cas où p est égal à 19, on trouve :

4+\sqrt{19}=[8,\overline{2,1,3,1,2,8}].

La liste des quotients complets, notés ici xi est :

x_0=\frac{\sqrt{19}+4}1,~x_1=\frac{\sqrt{19}+4}3,~x_2=\frac{\sqrt{19}+2}5,~x_3=\frac{\sqrt{19}+3}2,~x_4=\frac{\sqrt{19}+3}5,~x_5=\frac{\sqrt{19}+2}3,~x_6=\frac{\sqrt{19}+4}1,

et dans le cas où p est égal à 13 :

3+\sqrt{13}=[6,\overline{1,1,1,1,6}].

La liste des quotients complets est :

x_1=\frac{\sqrt{13}+3}4,~x_2=\frac{\sqrt{13}+1}3,~x_3=\frac{\sqrt{13}+2}3,~x_4=\frac{\sqrt{13}+1}4,~x_5=\frac{\sqrt{13}+3}1.

Équation de Pell-Fermat[modifier | modifier le code]

Structure de la solution[modifier | modifier le code]

La fraction continue est une technique à la fois théorique et pratique pour résoudre l'équation de Pell-Fermat suivante, si p est un entier sans facteur carré :

(1)\quad x^2 - p\cdot y^2 = \pm 1.

Une solution est un couple (a, b) d'entiers tel que a2p.b2 soit égal à ±1. Pour plus de simplicité dans les énoncés, ne sont considérées que les solutions dont les deux valeurs sont strictement positives. À part les solutions triviales (1, 0) et (–1, 0), toutes se déduisent par multiplication ou non des deux termes a et b par –1. Trois propositions permettent de comprendre comment se structurent les solutions.

  • Si (a, b) est un couple solution de l'équation (1), il existe un indice n tel que (hn, kn) soit égal au couple solution. Ici, hn et kn désignent le numérateur et le dénominateur de la réduite de rang n de la valeur p.

Autrement dit, toutes les solutions de l'équation se trouvent dans la suite des réduites de la fraction continue de p.

Pour aller plus loin, il est nécessaire d'analyser la fraction continue de p. Elle est de la forme, d'après le paragraphe précédent :

 \sqrt p = [a_0,\overline{a_1,a_2,\cdots , a_2,{\color{Red}a_1},2a_0}].

Notons k l'indice du coefficient a1 qui se situe juste avant le coefficient 2a0, c'est-à-dire celui en rouge dans l'expression précédente. Cela signifie que la période de la fraction continue est égale à k + 1.

  • Un indice n correspond à une solution de l'équation (1) si, et seulement si, soit n est égal à k, soit il existe un entier positif q tel que n = k + q(k + 1).

Ce qui signifie que les indices solutions sont ceux qui correspondent aux coefficients de valeur égale à a1, qui se situe exactement avant le coefficient de valeur égale à 2a0. Il en existe exactement un par période.

  • Si k est pair, il existe des solutions pour la valeur –1, elles correspondent aux indices k et k + 2q(k + 1), les autres indices donnent la valeur 1. Si k est impair, la valeur –1 n'est jamais atteinte.

Une autre manière d'énoncer cette proposition est de dire que la valeur –1 est atteinte si, et seulement si, la période est impaire ; elle est alors atteinte une fois sur deux et la première solution est négative.

Groupe des unités[modifier | modifier le code]

En théorie algébrique des nombres, il est parfois important de connaître la structure du groupe des unités d'un anneau d'entiers algébriques. Cette situation se produit en particulier pour les anneaux d'entiers quadratiques. La compréhension de cette structure est utile, par exemple, pour démontrer le dernier théorème de Fermat pour n = 3 ou 5, ou pour établir la loi d'apparition des nombres premiers dans la suite de Fibonacci (cf « Entier du corps quadratique ℚ[5] »).

On est amené à trouver les éléments inversibles de l'anneau ℤ[ω] qui sont de la forme a + bω où ω est un entier quadratique et a et b des éléments de ℤ. On montre que cela revient à résoudre une des deux équations diophantiennes suivantes, où d est un entier positif non carré parfait et f un entier positif tel que 4f + 1 n'est pas un carré parfait :

(1)\; x^2 + dy^2 = \pm 1\quad (2)\;x^2 + xy -fy^2 = \pm 1 .~

La première a déjà été étudiée, la deuxième est très similaire. On dispose par exemple de la propriété suivante :

  • Si le couple (a, b) est solution de l'équation (2), alors a / b est une réduite de l'entier quadratique –ωc défini par :
\omega = \frac 12 (1 + \sqrt {4f + 1}) \quad\text{et}\quad -\omega_c = \frac 12 (\sqrt {4f + 1} - 1).

La notation un peu étrange de –ωc pour indiquer l'entier quadratique approché provient du fait que ω est l'entier quadratique qui définit l'anneau ℤ[ω] ; ici le signe c en indice indique la valeur conjuguée. L'origine de ces formules est indiquée dans l'article Entier quadratique.

Un calcul strictement analogue montre que l'avant-dernier terme de la période de la fraction continue correspond aussi à la réduite recherchée.

Extraction d'une racine carrée[modifier | modifier le code]

Première méthode[modifier | modifier le code]

Les propriétés de la fraction continue d'un irrationnel quadratique permettent de calculer des approximations des racines carrées. La première technique consiste simplement à calculer les coefficients de la fraction continue puis ses réduites. Si l'on cherche la racine de 3, on trouve dans un premier temps :

\sqrt 3 = 1 + (\sqrt 3 - 1) = 1 + \frac {(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1)}{\sqrt 3 + 1} = 1 + \frac 1{\frac {\sqrt 3 + 1}2} = 1 + \frac 1{1 + \frac {\sqrt 3 - 1}2} = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{\sqrt 3 + 1}} = 1 + \frac 1{1 + \frac 1{ 2 + \sqrt 3 - 1}}.

Le quotient complet (3 – 1)–1 égal à (3 + 1)/2 a déjà été développé en fraction continue ; on en déduit l'expression :

\sqrt 3 = [1,1,2,1,2,\cdots] = [1,\overline{1,2}].

Les réduites se calculent par des formules de récurrence, étudiées dans l'article Fraction continue. Si hn / kn sont ces réduites :

h_{n+2} = a_{n+2}h_{n+1} + h_n \quad \text{et}\quad k_{n+2} = a_{n+2}k_{n+1} + k_n,~

ce qui donne les approximations suivantes de la racine de 3 :

\begin{align}
h_0 &= 1,& h_1 &=2,&h_2 &= 2 \times 2 + 1 = 5,&h_3 &= 1 \times 5 + 2 = 7,&h_4 &= 19, & h_5 &= 26, &\cdots \, h_{10} &= 989\\
k_0 &= 1,&k_1 &=1,&k_2 &= 2 \times 1 + 1 = 3,&k_3 &= 1 \times 3 + 1 = 4,&k_4 &= 11, & k_5 &= 15, &\cdots \, k_{10} &= 571.
\end{align}

Ainsi, à la 1re étape, on obtient la fraction 989 / 571, approximativement égale à 1,732 049 alors que les 7 premiers chiffres significatifs exacts sont 1,732 051. La précision de cet algorithme à l'étape n est meilleure que 1/(2kn2) d'après les calculs précédents. Pour l'approximation d'indice 10, on sait donc que l'erreur est inférieure à 1/(2×5712) meilleure que le 600 000e. Une force de cet algorithme est la « qualité » des solutions proposées, au sens où toute fraction de type a/b avec b strictement inférieur à 571 sera nécessairement moins bonne que la dixième réduite de la fraction continue. Par exemple, la meilleure approximation décimale de la racine de 3 avec deux chiffres significatifs, égale à 17/10, commet une erreur supérieur au 50e. Celle un peu équivalente 19/11 correspondant à la réduite d'indice 4 propose une approximation au 200e, soit quatre fois meilleure. Cette propriété est démontrée dans l'article Fraction continue et approximation diophantienne.

Accélération violente[modifier | modifier le code]

L'étude de l'équation de Pell-Fermat permet d'imaginer un algorithme dont la convergence est beaucoup plus rapide. Étudions le cas général. La réduite d'indice n est solution de l'équation de Pell-Fermat suivante si n + 1 est la période de la fraction continue associée à la racine de d, un entier non carré parfait :

x^2 - dy^2 =\pm 1.~

L'égalité suivante montre qu'à partir d'une solution (hn, kn), il est possible d'en construire une nouvelle, en considérant le carré de l'équation :

(h_n^2 - d k_n^2)^2 = 1 = (h_n - \sqrt d k_n)^2(h_n + \sqrt d k_n)^2 = (h_n^2 + dk_n^2 - \sqrt d\cdot 2h_nk_n)(h_n^2 + d k_n^2 + \sqrt d\cdot 2h_nk_n).

En appliquant à nouveau l'identité remarquable traitant de (a – b)(a + b), on obtient :

(h_n^2 + dk_n^2)^2 - d(2h_nk_n)^2 = 1.

Si l'on note uj et vj le numérateur et le dénominateur de cette suite, elle est définie par récurrence :

u_1 = h_n,\quad u_{j+1} = u_j^2 + dv_j^2 \quad\text{et}\quad v_1= k_n,\quad v_{j+1} = 2u_jv_j.

L'application au cas de la racine de 3 donne pour première valeur 2/1, en effet, 22 – 3 × 12 = 1 est bien la première solution non triviale, on trouve ensuite :

\begin{align}
u_1 &= 2,&u_2 &= 2^2 + 3\times 1^2 = 7,&u_3 &= 7^2 + 3\times 4^2 = 97,&u_4 &= 97^2 + 3\times 56^2 = 18\,817,&u_5 &= 708\,158\,977 \\
v_1 &= 1,&v_2 &= 2\times 2\times 1 = 4,&v_3 &= 2\times 7\times 4 = 56,&v_4 &= 2\times 97\times 56 = 10\,864,&v_5 &= 408\, 855\,776.\end{align}

Il n'existe peu d'applications nécessitant d'aller au-delà de l'étape 5, la précision de u5 / v5 dépasse déjà 20 décimales. Tous ces couples de numérateurs et dénominateurs sont des solutions de l'équation de Pell-Fermat, la théorie indique que ce sont des réduites de la fraction continue de la valeur recherchée, ici la racine de 3. En conséquence, la précision est toujours meilleure que l'inverse du double du carré du dénominateur.

Un exemple historique de résolution de l'équation de Pell Fermat[modifier | modifier le code]

L'équation suivante possède une longue histoire :

x^2 - 61\cdot y^2 = 1.~

Brahmagupta[12] l'utilise comme illustration d'un ancêtre de la méthode chakravala dès le VIe siècle. À cette époque, les nombres négatifs n'étaient pas considérés. Il est repris par Bhāskara II qui perfectionne la méthode[13] et lui donne une puissance algorithmique un peu supérieure à celle par les fractions continues, présenté ici.

Le 3 janvier 1658, l'exemple est encore repris par Pierre de Fermat, qui en fait un défi lancé aux mathématiciens de toute l'Europe[14]. Fermat conclut par « si elle n'est fournie ni par l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique, elle le sera par la Narbonnaise[15] ». Ce défi est à l'origine des travaux anglais sur les fractions continues des irrationnels quadratiques et leur connexion avec l'équation de Pell-Fermat.

Appliquons l'algorithme des fractions continues pour calculer les coefficients et les quotients complets :

\sqrt{61}=7+\frac1{\frac{7+\sqrt{61}}{12}},\quad\frac{7+\sqrt{61}}{12}=1+\frac1{\frac{5+\sqrt{61}}3},\quad\frac{5+\sqrt{61}}3=4+\cfrac1{\frac{7+\sqrt{61}}4},\quad\frac{7+\sqrt{61}}4=3+\frac1{\frac{5+\sqrt{61}}9},

ce qui donne les premiers coefficients : 7, 1, 4, 3. On continue avec :

\frac{5+\sqrt{61}}9=1+\cfrac1{\frac{4+\sqrt{61}}5},\quad\frac{4+\sqrt{61}}5=2+\frac1{\frac{6+\sqrt{61}}5}.

On dispose maintenant de la section commençante 7, 1, 4, 3, 1, 2. Il n'est plus nécessaire de continuer. On remarque que les quotients complets x5 et x6 sont associés car ils ont le même dénominateur. La moitié du palindrome est déjà explicitée. Comme ce phénomène se produit pour deux indices adjacents, on peut en déduire que la période est impaire et égale à 2 × 5 + 1. On peut aussi en déduire que a6 est égal à a5, ainsi que les termes suivants : 2, 1, 3, 4, 1. Enfin, le dernier terme est égal au double du premier, soit 14. Le premier candidat à la solution est donc celui mise en valeur en rouge dans l'expression suivante :

\sqrt{61}=[7,\overline{1,4,3,1,2,2,1,3,4,{\color{Red}1},14}].

On sait que la fraction réduite d'indice 10, appliquée à l'équation du paragraphe donne 1 en valeur absolue. Pour la calculer, le plus simple est de commencer par utiliser les relations de récurrences (cf l'article Fraction continue). Si hn / kn désigne la réduite d'indice n et an le coefficient d'indice n, on dispose des formules :

h_{n+2} = a_{n+2}h_{n+1} + h_n \quad \text{et}\quad h_{n+2} = a_{n+2}h_{n+1} + h_n.~

En remarquant que la première et la deuxième réduite sont égales à 7/1 et 8/1, on obtient :

\begin{align}
h_2 &= 4 \times 8 + 7 = 39,&h_3 &= 3 \times 39 + 7 = 125,&h_4 &= 164, & h_5 &= 453, & h_6 &= 1\,070, &\cdots \, h_{10} &= 29\;718\\
h_2 &= 4 \times 1 + 1 = 5 ,&k_3 &= 3  \times 5 + 1 = 16,&k_4 &= 21,  & k_5 &= 58,  & k_6 &= 137,    &\cdots \, k_{10} &= 3\;805.
\end{align}

Cependant, comme l'indice de la réduite calculée est pair, la solution associée à l'équation du paragraphe est de signe négatif, ce qui se vérifie aisément :

29\,718^2 - 61\times 3\,805^2 = 883\,159\,524 - 883\,159\,525 = -1.

Ni Brahmagupta, ni Fermat n'acceptent ce type de solution. La bonne réduite est donc la 21e. Pour la calculer, on peut soit prolonger le calcul, soit utiliser le même principe que celui de la deuxième méthode d'extraction d'une racine :

(h_{10}^2 + 61\cdot k_{10}^2)^2 - 61\cdot (2h_{10}k_{10})^2 = 1.

L'article équation de Pell-Fermat montre que cette formule donne exactement la solution associée à la 21e réduite de la fraction continue. La solution du défi de Fermat est :

h_{21} = 1\,766\,319\,049,\quad k_{21} = 226\,153\,980\quad\text{et}\quad 1\,766\,319\,049^2 - 61\times 226\,153\,980^2 = 1.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul, Robert Laffont, 1994 (ISBN 978-2-70284212-6)
  2. (it) M. T. Rivolo et A. Simi, Il calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci a Bombelli, Arch. Hist. Exact Sci. 52 (2), 1998, p. 161-193
  3. (it) S. Maracchia, Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi, Archimede 28 (2), 1976, p. 124-127
  4. (en) Leonard Eugene Dickson, Diophantine analysis, AMS Bookstore, 1999 (ISBN 0821819356), p. 355-356
  5. (la) John Wallis, Commercium epistolicum de quæstionibus quibusdam mathematicis nuper habitum Oxonii : Excudebat A. Lichfield, Impensis Tho. Robinson, 1658
  6. (la) Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748, Vol. I, chap. 18
  7. Ces résultats sont publiés dans : Leonhard Euler et Joseph-Louis Lagrange, Éléments d'algèbre, Lyon, Bruyset et Paris, Desaint, 1774. Le livre contient une centaine de pages nommées Additions par Lagrange et rééditées dans : Joseph-Alfred Serret, Œuvres de Lagrange, vol. VII, Gauthier-Villars,‎ 1877 (lire en ligne), p. 5-180
  8. Évariste Galois annonce le résultat suivant « Si une des racines d’une équation de degré quelconque est une fraction immédiatement périodique, cette équation aura nécessairement une autre racine également périodique que l’on obtiendra en divisant l’unité négative par cette même fraction continue périodique écrite dans un ordre inverse. » (p. 63 du diaporama de la conférence Ces étranges fractions qui n'en finissent pas donnée à l’IREM de La Réunion, en octobre 2005, par Claude Brezinski).
  9. a, b et c Les démonstrations proposées ici s'inspirent de Développement d’un réel en fractions continues, par M. Couchouron, de l'université de Rennes I
  10. Joseph-Louis Lagrange, Solution d'un Problème d'arithmétique, dans la réédition par Serret des Œuvres de Lagrange.
  11. (en) Harold Davenport, The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers, CUP,‎ 1999, 7e éd. (ISBN 978-0-521-63446-5, lire en ligne), p. 104
  12. (en) B. L. van der Waerden, Pell's Equation in Greek and Hindu Mathematics, Russ. Math Surveys 31 (5), 1976, p. 210-225
  13. Bhāskara II, Bijaganita, 1150, d'après (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Pell's equation », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne).
  14. Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? l'hypothèse "Pascal", L'Harmattan, 2002 (ISBN 978-2-74752836-8), p. 113
  15. Voir à ce sujet la page Pierre de Fermat sur le site de la commune de Beaumont-de-Lomagne.

Bibliographie[modifier | modifier le code]