Fonction diviseur

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En mathématiques, la fonction "somme des puissances des diviseurs", parfois abrégée en fonction diviseur[réf. souhaitée] , notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances -ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque :

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux, . En effet, est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance -ième et la fonction constante 1.
  • Si p est un nombre premier alors σa(pk) est une somme partielle de série géométrique :
    (La condition pa = 1 équivaut à a ∈ i(2π/logp)ℤ, ce qui est vrai pour tous les p si a est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, n'est pas complètement multiplicative.
  • L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer σa(n) connaissant la décomposition en facteurs premiers de n :
  • La seconde des deux mêmes propriétés permet de calculer σa(pk) par les polynômes de Tchebychev : soient Uk le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré k, et Xk sa renormalisation, définie par Xk(T) = Uk(T/2). Alors[1] :
  • Par multiplicativité, on déduit du point précédent[1] :
    (où (m, n) désigne le pgcd de m et n) puis, par inversion de Möbius :
    .
  • La série de Dirichlet associée à s'exprime à l'aide de la fonction ζ de Riemann :
    et l'on a la relation :

Cas où a est un entier naturel[modifier | modifier le code]

Fonction nombre de diviseurs[modifier | modifier le code]

La fonction[2] (« nombre de diviseurs »), également notée[3] d, est aussi appelée fonction tau[4],[5] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

La suite est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS.

Fonction somme des diviseurs[modifier | modifier le code]

La fonction sigma est parfois notée σ. On a

Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors

où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de n est L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.

La suite est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS.

Autres valeurs de a[modifier | modifier le code]

La suite est répertoriée comme suite A001157 de l'OEIS.

La suite est répertoriée comme suite A001158 de l'OEIS.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
  2. « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
  3. G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, [détail de l’édition].
  4. Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
  5. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

J. Liouville, « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl., 2e série, vol. 3,‎ , p. 63-68 (lire en ligne)

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Divisor Function », sur MathWorld