Fonction diviseur

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En mathématiques, la fonction diviseur σa(n) est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des a-ièmes puissances des diviseurs positifs de n, où a est un nombre complexe arbitraire :

\sigma_{a}(n)=\sum_{d|n} d^a.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La fonction σa est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers m et n premiers entre eux, σa(mn) = σa(m)σa(n).
    Cela vient essentiellement du fait que tout diviseur de mn s'écrit alors de façon unique comme produit d'un diviseur de m par un diviseur de n[1].
  • Si p est premier alors σa(pk) est une somme partielle de série géométrique :
    \forall n\in\N,\quad\sigma_a(p^k)=1+p^a+p^{2a}+\ldots+p^{ka}=\begin{cases}\frac{p^{(k+1)a}-1}{p^a-1}&\text{si }p^a\ne1,\\k+1&\text{si }p^a=1.\end{cases}
    (La condition pa = 1 équivaut à a ∈ i(2π/logp)ℤ, ce qui est vrai pour tous les p si a est nul et pour au plus un sinon.)
    En particulier, σa n'est pas complètement multiplicative.
  • L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer la somme des diviseurs de σa(n) connaissant la décomposition en facteurs premiers de n :
    {\rm si}\quad n=\prod_{i=1}^rp_i^{k_i}\quad{\rm alors}\quad\sigma_a(n)=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{k_i}p_i^{ja}.
  • La seconde des deux mêmes propriétés permet de calculer σa(pk) par les polynômes de Tchebychev : soient Uk le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré k, et Xk sa renormalisation, définie par Xk(T) = Uk(T/2). Alors[2] :
    \frac{\sigma_a(p^k)}{p^{ak/2}}=X_k\left(\frac{\sigma_a(p)}{p^{a/2}}\right).

Fonction nombre de diviseurs[modifier | modifier le code]

La fonction[3] σ0 (« nombre de diviseurs »), également notée[4] d, est aussi appelée fonction tau[5],[6] (de l'allemand Teiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :

 d(n)=\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \operatorname{Card} \{ 1\leqslant d \leqslant n : d|n \}=\prod_{i=1}^r(k_i+1).

Fonction somme de diviseurs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme des diviseurs.

La fonction sigma σ1 est parfois notée σ. On a

\sigma(n)=\sum_{d|n}d=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j=\prod_{i=1}^k\frac{p_i^{k_i+1}-1}{p_i-1}.

Par exemple, si n = pq pour deux nombres premiers distincts p et q, alors \sigma(n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q)\text{ et }\varphi(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q) où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de n est s(n)=\sum_{d|n,d\ne n}d=\sigma(n)-n. L'entier n est dit parfait si s(n) = n, déficient si s(n) < n et abondant si s(n) > n.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une preuve de ce lemme et, si nécessaire (dans un cadre plus général mais sur le même principe), de la multiplicativité qui en résulte automatiquement, voir par exemple l'article sur la convolution de Dirichlet, au § Groupe des fonctions multiplicatives. Par définition, σa est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance a-ième et la fonction constante 1.
  2. Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
  3. « d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
  4. G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les nombres premiers [détail de l’édition].
  5. Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
  6. Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin.

Voir aussi[modifier | modifier le code]