Fonction logarithmiquement convexe

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction à valeurs strictement positives est dite logarithmiquement convexe si sa composée par le logarithme népérien est convexe.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soient un intervalle réel et . On dit que est logarithmiquement convexe si, pour tous points de et tout , on a l'inégalité suivante :

,

soit encore, en prenant l'exponentielle :

.

De façon équivalente, est logarithmiquement convexe si pour tout intervalle non trivial , les réels déterminés par vérifient :

.

Exemples[modifier | modifier le code]

Une caractérisation[modifier | modifier le code]

est logarithmiquement convexe si et seulement si pour tout , l'application est convexe.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Toute fonction logarithmiquement convexe est convexe.
    C'est un corollaire de la caractérisation ci-dessus.
    La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple classique de la fonction xx2.
  • La somme et le produit de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
    Ces deux propriétés se déduisent du fait que la somme de deux fonctions convexes est convexe, en utilisant l'équation fonctionnelle du logarithme pour la stabilité par produit, et la caractérisation ci-dessus pour la stabilité par somme[2].

Généralisation aux fonctions d'une variable vectorielle[modifier | modifier le code]

Soient un espace vectoriel réel et un convexe de .

Une application est dite logarithmiquement convexe si est convexe sur C.

Les deux propriétés ci-dessus s'étendent immédiatement à ce cadre, puisqu'une fonction est convexe sur C si et seulement si sa « restriction » à tout segment est une fonction convexe de la variable réelle t ∈ [0, 1].

De même, on déduit facilement de la caractérisation ci-dessus qu'une application est logarithmiquement convexe sur C si et seulement si, pour toute forme linéaire sur , l'application est convexe[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Pour une généralisation, voir Artin 2015, p. 10, Theorem 1.9.
  2. Pour une autre démonstration de la stabilité par somme, voir Artin 2015, p. 8-9, Theorem 1.8.
  3. Démontré sous des hypothèses supplémentaires dans Hiriart-Urruty 2009, p. 30-31, exercice I.15.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]