Fonction logarithmiquement convexe

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En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction f définie sur un intervalle réel I et à valeurs strictement positives est logarithmiquement convexe si \ln\circ f est convexe.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Soient I un intervalle réel et f:I\rightarrow\mathbb{R}_+^*. On dit que f est logarithmiquement convexe si \ln\circ f est convexe, autrement dit si pour tout \lambda\in[0,1] et tout (x,y)\in I^2 on a l'inégalité suivante :
\ln\left(f(\lambda x+(1-\lambda)y)\right)\leqslant\lambda\ln\left(f(x)\right)+(1-\lambda)\ln\left(f(y)\right), soit encore en prenant l'exponentielle f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leqslant \left(f(x)\right)^\lambda \left(f(y)\right)^{1-\lambda}.

Propriété[modifier | modifier le code]

Toute fonction logarithmiquement convexe est convexe.
On remarquera que la réciproque de cette propriété est fausse comme le montre le contre-exemple classique de la fonction x\mapsto x^2.

Une caractérisation[modifier | modifier le code]

f est logarithmiquement convexe si et seulement si pour tout c>0 l'application x\mapsto c^xf(x) est convexe.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

  • Xavier Gourdon, Les maths en tête (Maths pour M') : Analyse, Paris, Ellipses Marketing,‎ 1994, 416 p. (ISBN 272984449X)