Espace réflexif

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En analyse fonctionnelle, un espace vectoriel normé est dit réflexif si l'injection naturelle dans son bidual topologique est surjective. Les espaces réflexifs possèdent d'intéressantes propriétés géométriques.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit X un espace vectoriel normé, sur R ou C. On note X' son dual topologique, c'est-à-dire l'espace (de Banach) des formes linéaires continues de X dans le corps de base. On peut alors former le bidual topologique X'', qui est le dual topologique de X'. Il y a une application linéaire continue naturelle

J : XX''

définie par

J(x)(φ) = φ(x) pour tout x dans X et φ dans X'.

Donc, J envoie x vers la forme linéaire continue sur X' donnée par l'évaluation en x. Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, J préserve la norme (soit encore ||J(x)||=||x||) et est donc injective. L'espace X est alors dit réflexif si J est bijective.

Remarques.

  • Cette définition implique que tout espace normé réflexif est de Banach, puisque X est isomorphe à X''.
  • L'espace de James (de) est non réflexif, bien qu'isométriquement isomorphe à son bidual topologique (par un autre morphisme que J).

Exemples[modifier | modifier le code]

Tout espace de Hilbert est réflexif, de même que les espaces Lp pour 1 < p < ∞. De manière générale : tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif d'après le théorème de Milman-Pettis.

Les espaces de suites c0, ℓ1 et ℓ ne sont pas réflexifs. L'espace C([0, 1]) non plus.

Les espaces de Montel sont réflexifs, pour une définition de la réflexivité généralisant celle présentée ici seulement dans le cas normé.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si Y est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif X alors Y et X/Y sont réflexifs.

Pour un espace normé X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. X est réflexif,
  2. X est complet et son dual est réflexif,
  3. la boule unité fermée de X est faiblement compacte[1],
  4. toute suite bornée de X admet une sous-suite faiblement convergente[2],
  5. X est complet et toute forme linéaire continue sur X atteint sa norme en un point de la boule unité de X[3],
  6. X est complet et tout convexe fermé non vide C de X est « proximinal », c'est-à-dire que pour tout x dans X, il existe dans C au moins un c (non unique en général) tel que x – c soit égal à la distance de x à C[4].

Un espace réflexif peut être muni d'une norme équivalente qui en fait un espace strictement convexe[5], mais il existe des espaces réflexifs séparables qui ne sont pas super-réflexifs, c'est-à-dire qui ne sont uniformément convexes pour aucune norme équivalente[6].

Un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual est séparable[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Reflexive space » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Viorel Barbu et Teodor Precupanu, Convexity and Optimization in Banach Spaces, Springer,‎ 2012, 4e éd. (ISBN 978-9-40072246-0, lire en ligne), p. 33
  2. En effet, dans un espace normé (non nécessairement complet) muni de la topologie faible, toute partie séquentiellement compacte est compacte d'après le théorème d'Eberlein-Šmulian : (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer,‎ 2007, 3e éd. (ISBN 978-3-540-32696-0, lire en ligne), p. 241
  3. Voir théorème de James.
  4. (en) Jean-Pierre Crouzeix, Juan-Enrique Martinez-Legaz et Michel Volle, Generalized Convexity, Generalized Monotonicity: Recent Results, Springer,‎ 1998 (ISBN 978-0-79235088-0, lire en ligne), p. 210
  5. (en) J. Lindenstrauss, « On nonseparable reflexive Banach spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 72,‎ 1966, p. 967-970 (lire en ligne)
  6. (en) Mahlon M. Day, « Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 47, no 4,‎ 1941, p. 313-317 (lire en ligne)
  7. Ceci résulte du fait qu'un espace vectoriel normé est séparable dès que son dual l'est.