Espace de suites p

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, l'espace p est un certain espace de suites à valeurs réelles ou complexes qui possède une structure d'espace de Banach.

Motivation[modifier | modifier le code]

Considérons l'espace vectoriel réel ℝn, c'est-à-dire l'espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d'un vecteur x=(x_1, x_2, \dots, x_n) est donnée par :

\|x\|=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}.

Mais pour tout nombre réel p ≥ 1, on peut définir une autre norme sur ℝn, appelée la p-norme, en posant :

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}

pour tout vecteur x=(x_1, x_2, \dots, x_n).

Pour tout p ≥ 1, ℝn muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, c'est même un espace de Banach.

Espace ℓp[modifier | modifier le code]

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité dénombrable de composantes, ce qui permet de définir l'espace ℓp (noté aussi ℓp() car on peut définir de même ℓp(X) pour n'importe quel ensemble X fini ou infini, le cas où X a n éléments correspondant au paragraphe précédent).

Plus précisément, ℓp sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :

(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots)+(y_0, y_1, \dots, y_n, y_{n+1},\dots)=(x_0+y_0, x_1+y_1, \dots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\dots)

et la multiplication par un scalaire par :

\lambda(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots) = (\lambda x_0, \lambda x_1, \dots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\dots).

On définit la p-norme d'une suite x=(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots) :

\|x\|_p=\left(|x_0|^p+|x_1|^p+\dots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\dots\right)^{1/p}\in[0,+\infty].

La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1, 1, 1, …) a une p-norme infinie pour n'importe quel p.

L'espace ℓp est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

On définit aussi la « norme  » comme :

\|x\|_\infty=\sup(|x_0|, |x_1|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots)

et l'espace vectoriel correspondant ℓ est l'espace des suites bornées.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Pour 1 < p < , l'espace de suites ℓp est réflexif. Son dual[1] est l'espace ℓq, avec 1/p+ 1/q = 1 ;
  • Dans ℓ, le sous-espace c0 des suites de limite nulle n'est pas réflexif : son dual est ℓ1 et le dual de ℓ1 est ℓ[1]. Par conséquent, ℓ1 et ℓ ne sont pas non plus réflexifs.
  • Pour tout q < et tout x ∈ ℓq, l'application décroissante p ↦ ║xp est continue sur [q, +∞]. En particulier[2] :
    \|x\|_\infty=\lim_{p\to+\infty}\|x\|_p.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]