Espace uniformément convexe

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En mathématiques, un espace uniformément convexe est un espace vectoriel muni d'une norme dont les boules sont « bien arrondies », en un sens plus fort que dans un espace strictement convexe. Tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces Lp pour 1 < p < ∞.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace uniformément convexe est un espace de Banach[1] — ou seulement, selon les auteurs[2], un espace vectoriel normé[3] — tel que, pour tout ε > 0, il existe un δ > 0 pour lequel, pour tout couple (x, y) de vecteurs,

\left(\|x\|\le1~\text{et}~\|y\|\le1~\text{et}~\|x-y\|\ge\varepsilon\right)\Rightarrow\left\|\frac{x+y}2\right\|\le1-\delta.

ou encore[4] : pour tout ε > 0, il existe un η > 0 pour lequel, pour tout couple (x, y) de vecteurs,

\|x-y\|\ge\varepsilon\max(\|x\|,\|y\|)\Rightarrow\left\|\frac{x+y}2\right\|\le(1-\eta)\max(\|x\|,\|y\|).

Le concept de convexité uniforme a été introduit par James Clarkson (en)[5].

De manière intuitive, cela signifie que les boules sont bien arrondies : les cordes suffisamment longues de la sphère ont leur milieu suffisamment loin du bord de la boule, le tout avec un caractère uniforme par rapport aux choix de la longueur de la corde. On peut comparer cette notion avec celle d'espace strictement convexe, moins exigeante. Cette propriété peut ne pas être conservée si on passe à une norme équivalente. Ainsi dans le cas du plan ℝ2, la norme ║ ║2 est uniformément convexe, alors que les normes ║ ║1 ou ║ ║ ne le sont pas.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Cette définition provient de Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions], p. 51.
  2. Beaucoup d'auteurs, à la suite de Clarkson 1936, ne définissent la convexité uniforme que pour un espace a priori de Banach.
  3. (en) N. L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, CUP,‎ (ISBN 978-0-521-60372-0, lire en ligne), p. 114 ou N. Bourbaki, EVT (lire en ligne), p. V.66, exercice 31.
  4. (en) Shizuo Kakutani, « Weak convergence in uniformly convex spaces », Tohoku Math. J., vol. 45,‎ , p. 188-193 (lire en ligne).
  5. (en) J. A. Clarkson, « Uniformly convex spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 40,‎ , p. 396-414 (lire en ligne).
  6. Carothers 2004, p. 121.
  7. (en) D. Milman, « On some criteria for the regularity of spaces of type (B) », C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, vol. 20,‎ , p. 243-246.
  8. (en) B. J. Pettis, « A proof that every uniformly convex space is reflexive », Duke Math. J., vol. 5,‎ , p. 249-253 (zbMATH 0021.32601).
  9. (en) S. Kakutani, « Weak topologies and regularity of Banach spaces », Proc. Imp. Acad. Tokyo, vol. 15,‎ , p. 169-173 (lire en ligne).
  10. (en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces, Springer, coll. « GTM » (no 92),‎ (lire en ligne), p. 137.
  11. (en) J. R. Ringrose, « A note on uniformly convex spaces », J. London Math. Soc., vol. 34,‎ , p. 92 (lire en ligne).
  12. Tirée de Ringrose 1959, dont s'inspire Brezis. Pour une autre preuve, voir (en) William B. Johnson (de) et Joram Lindenstrauss, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. 1, Elsevier,‎ (ISBN 978-0-08053280-6, lire en ligne), p. 31.
  13. (en) Olof Hanner (en), « On the uniform convexity of Lp and lp », Ark. Mat., vol. 3,‎ , p. 239-244 (DOI 10.1007/BF02589410).
  14. (en) Paolo Roselli et Michel Willem, « A convexity inequality », Amer. Math. Month., vol. 109, no 1,‎ , p. 64-70 (lire en ligne [ps]).
  15. Carothers 2004, p. 115.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Super-réflexivité