Discussion:Théorème fondamental de l'algèbre

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Clé

Le nom du mathématicien est d'Alembert ... ne serait-il pas logique de chercher à la lettre D ? --Ąļḋøø 25 aoû 2004 à 15:49 (CEST)

Non le nom est Alembert, la particule ne compte jamais dans le tri comme Ludwig van Beethoven est trie a Beethoven

Xmlizer 26 aoû 2004 à 13:34 (CEST)

Lien théorème de Gauss

J'aurais tendance à virer comme hors-sujet la phrase sur le théorème de Gauss en électromagnétisme (ou en analyse vectorielle, si on veut). Qu'est-ce que vous en pensez ? Je pose la question parce que c'est un problème assez général : certes, une ligne comme celle-là permet au lecteur égaré de trouver le bon article. Mais à force de faire ça, on a plein de page qui au lieu d'avoir un sujet (et c'est ça, un article ! un texte sur un sujet) commencent par signaler que non, elles ne parlent pas de telle chose, enfin si peut-être, etc. Bref.

MM 25 oct 2004 à 20:42 (CEST) (un peu avant, en fait, oublié de signer)

Théorème de D'Alembert-Gauss

D'abord, dans l'historique, il y a un mélange avec le théorème de Gauss relatif à la théorie du potentiel (et donc à l'électrostatique). Ah les fusions ! Cela dit, il y a de nombreuses démonstrations de ce théorème ; Gauss lui-même, si je me souviens bien, en a fourni deux différentes, et certainement pas en utilisant le théorème de Liouville. Je peux donner une démonstration du théorème de Liouville (hélas, pas de moi !) et donc du théorème susdit en utilisant seulement l'analyse réelle (on montre que toute fonction harmonique bornée sur Rⁿ est constante). Donc, ni Liouville ni analyse complexe ne sont nécessaires. Ce qui reste irréductible à l'algèbre, sauf erreur, est qu'un polynôme à coefficients réels et de degré impair a au moins une racine. Donc la remarque est bienvenue (y compris la citation du théorème de Liouville) mais il faut tourner les choses un peu autrement. CD 24 jan 2005 à 01:20 (CET)

On peut aussi utiliser les inégalités de Cauchy sans utiliser le théorème de Liouville.Claudeh5 25 juin 2006 à 19:37 (CEST)

Pourquoi est-ce que cet article s'appelle "théorème de d'Alembert-Gauss", le nom principal devrait (selon moi) être "Théorème fondamental de l'algèbre" (pour l'instant, ce n'est qu'une redirection) qui est le nom employé sur la plupart des wikis et de manière générale dans la littérature ?! Par ailleurs ça me semblerait beaucoup plus clair par rapport au contenu de l'article. Ce qui est marrant c'est que sur le web on trouve ceci (bibmath.net : par exemple) Il n'y a qu'en France que le nom de de d'Alembert est associé à ce théorème. Le célèbre encyclopédiste ne l'a en effet ni énoncé le premier, ni démontré le premier.[...]. Finalement il y a les articles théorème fondamental de l'analyse, théorème fondamental de l'arithmétique, théorème fondamental de la géométrie affine etc. pourquoi (s'embêter à) faire autrement ? Thibaut Liénart (d) 10 juillet 2009 à 21:08 (CEST)

Qu'importe le nom si le contenu est exact et si le nom n'est pas une fantaisie de l'auteur mais bien une réalité "sourçable" (par exemple Analyse mathématique, par Roger Godement). Quant à la paternité du nom, le mieux est de citer Dominique Flament (Chercheur en mathématiques et histoire des mathématiques au CNRS) dans son Histoire des nombres complexes : « Une première démonstration (complète), oeuvre les plus marquante de Jean le Rond d'Alembert, parut si rigoureuse à l'époque que le "théorème fondamental de l'algèbre" reçut l'appellation de "théorème de d'Alembert", dénomination qui subsiste en France aujourd'hui. Cette démonstration arithmétique reposait sur un défaut que Gauss mit en lumière... ». Il est donc naturel d'utiliser dans une encyclopédie francophone un terme largement utilisé en France ainsi que dans les livres de mathématiques. Cependant je ne suis pas prête à déclencher une nouvelle guerre du chicon et de l'endive et si d'autres contributeurs préfèrent changer de nom pourquoi pas. En attendant d'autres avis, conservons ce nom qui a satisfait nombres de contributeurs et de lecteurs. -HB (d) 10 juillet 2009 à 22:02 (CEST)

D'ailleurs, je signale qu'à mon avis les autres « théorèmes fondamentaux  » ne sont nommés ainsi que par anglicisme ; ce n'est pas un usage classique en France. Même si on peut penser que ça le deviendra voire le souhaiter - c'est en effet assez pratique. Salle (d) 10 juillet 2009 à 23:52 (CEST)

Bonjour, j'ai en effet vu que c'est d'Alembert qui avait publié le premier une démonstration du théorème, je ne pense pas que l'article soit mal nommé mais juste "pas nommé de la manière la plus claire qui soit" (dans le sens ou ça ne reflète pas vraiment le contenu de l'article). Cependant, pour reprendre HB, c'est clair que c'est un détail et que le contenu (assez bon par ailleurs) importe plus... Thibaut Liénart (d) 11 juillet 2009 à 14:36 (CEST)

Une petite question

L'article contient au fait deux phrases contradictoires qu'il serait intéressant d'élucider. Il est affirmé que les démonstrations du théorème font toujours appel à un argument topologique:

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"La dénomination « théorème fondamental de l'algèbre » fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où l'on n'en connaît pas de démonstration qui évite de faire appel à des outils d'analyse."

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Pourtant R.vidonne a donné une référence où il affirme qu'il existe une preuve purement algébrique:

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"Il existe une preuve purement algébrique du théorème fondamental de l'algèbre. Voir Alain Bouvier & Denis Richard, Editeur Hermann, (ISBN 2705613838). Ouvrage malheuresement épuisé."

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Quelqu'un peut il affirmer laquelle des deux affirmations est exacte? L0stman 27 avril 2006 à 21:47 (CEST)

La démonstration de Bouvier-Richard utilise ce pré-requis « tout polynôme à coefficient réels, de degré impair, possède une racine réelle » Peps 27 avril 2006 à 22:04 (CEST)

Merci de la précision Peps.J L0stman 28 avril 2006 à 13:45 (CEST)

ce qui est trivial d'un côté et utilise tout de même l'analyse (réelle) dans l'autre. Version cependant faible du théorème de Bolzano qui lui-même mène au théorème des valeurs intermédiaires...Claudeh5 25 juin 2006 à 19:40 (CEST)

Je me suis permis de donner cette précision, et de renvoyer à l'article sur les corps réels clos Dfeldmann 26 mai 2007 à 11:30

Précision nécessaire ?

Juste un petit détail pour que le lecteur désireux de comprendre la démonstration puisse se dire qu'elle est entièrement rigoureuse. C'est quasiment trivial mais comme ça joue sur l'argument final :

Il faut dire que par continuité de la fonction z -> norme(P(z)), zo ne peut pas se trouver sur la bordure de la boule B(0,R). Et que donc pour r suffisament proche de 0, zo+z est dans B(0,R). Sinon il n'y a pas la contradiction à la fin de la démo. 4/12/2007 par anonyme.

il me semble que ce n'est pas nécessaire : m est défini comme la borne inférieure globale (sur C). On ne se place sur un compact que pour montrer que cette borne est atteinte, pas pour effectuer le "mouvement d'approche". Si m avait été introduit autrement, il aurait effectivement fallu être plus prudent. Peps 4 décembre 2007 à 18:53 (CET)

Démonstration par Galois

Dans l'état actuel, la démonstration me laisse sceptique. Tout d'abord, la rédaction me semble bien négligée. L'extension L possède un groupe d'ordre 2^k ou i ? Ensuite, l'extension est elle galoisienne ou quelconque? Enfin, même si elle est de Galois, qu'est ce qui laisse penser qu'un groupe d'ordre une puissance de deux est résoluble ? Si le groupe n'est pas résoluble, le théorème d'Abel indique qu'il n'y a aucune chance d'exprimer les racines par radicaux. Il est déjà au moins clair que la clôture quadratique de R ne contient pas toutes les racines des polynômes de degré quatre, la preuve rédigée ainsi est donc fausse. On le remarque simplement à l'aide de la forme générale d'une racine d'un polynôme de degré quatre, elle contient déjà des racines cubiques. Le corps de rupture associé est de degré quatre, mais le corps de décomposition de degré 24.

La démonstration est soit fausse, soit très incomplète. Si le groupe est résoluble il faut montrer pourquoi (là réside le cœur de la preuve). En tout état de cause, utiliser un tel marteau-pilon pour écraser une mouche me semble un peu étrange. Voilà une démonstration qui demande une référence sérieuse. Jean-Luc W (d) 17 février 2008 à 17:33 (CET)

OK OK je suis allé trop vite en besogne. Cette démonstration est correcte, je l'ai lue dans le Algèbre de Lang (référence très sérieuse, je pense). Donc je vais dans la discussion prendre point par point. L'extension est galoisienne. Un groupe d'ordre 2^k est un p-groupe donc résoluble. Donc un élement dans une extension de degré par exemple 8 pourra s'exprimer avec des racines carrées. Je vais changer en conséquent la preuve. Noky (d) 17 février 2008 à 19:52 (CET)

Lang est évidemment une bonne référence. En revanche, il ne faut pas espérer écrire toujours un élément d'une extension de degré même quatre avec des racines carrées. X⁴ + X + 1 nécessite déjà des racines cubiques. Jean-Luc W (d) 17 février 2008 à 20:13 (CET)

On est d'accord, mais ce n'est pas le cas de la preuve. Noky (d) 17 février 2008 à 20:19 (CET)

L'énoncé du théorème est incontestablement exact : il n'existe pas d'autres extensions finies que C. En revanche indiquer juste que C est stable par racine carré et en déduire qu'il n'existe pas d'extension d'ordre une puissance de deux peut laisser rêveur le lecteur non averti. Voilà pourquoi j'ai détaillé les cinq points qui pouvait étonner. Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 18:17 (CET)

De mémoire (je peux me tromper) c'était ainsi que la preuve était présentée, et elle était réservée aux gens qui connaissaient la théorie de Galois, et plus précisément qui savent qu'une extension admettant un groupe de Galois qui est un p-groupe est alors << constructible >> par radicaux (un tout petit peu plus complique en théorie). Et dans ma hâte je l'ai reproduite sans expliquer pour le lecteur ne connaissant pas Galois. Noky (d) 18 février 2008 à 18:27 (CET

Si ma mémoire est bonne, Lang traite les extensions quadratiques dans son Algèbre, j'imagine donc qu'il n'a du juste mettre un rappel rapide vers les pages concernées. Ici, certains lecteurs sont peut être plus novices, voilà pourquoi je donne des éléments pour se raccrocher aux branches. Au pire certains ne retiendront que le fait qu'il n'existe qu'une unique extension quadratique de R et que c'est C, mais ils n'auront pas totalement perdu leurs temps. Pour les spécialistes, le style et les rappels paraitront lourds, mais comme ils savent lire en diagonal, je me fais moins de soucis. Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 18:39 (CET)

Totalement convaincu par cette dernière argumentation (bien que l'on n'ai pas vraiment le besoin de parler d'extension quadratique). Noky (d) 18 février 2008 à 19:11 (CET)

J'achète la remarque, j'ai essayé d'améliorer un peu les choses. Jean-Luc W (d) 18 février 2008 à 19:23 (CET)

Enrichissements

Il m'a semblé que l'article méritait un enrichissement, tant du point de vue de l'histoire que celui des différents usages. L'essentiel des éléments provienne du Peiffer, recoupé avec d'autres sources.

J'ai relu les remarques sur Galois, une personne connaissant le groupe de Galois ou les p groupes et les théorèmes de Sylow devrait aussi connaître les extensions quadratiques, voilà pourquoi je n'ai pas totalement suivi l'idée de Noky (à qui l'on doit l'essentiel de cette jolie démonstration de Frobenius.Jean-Luc W (d) 30 décembre 2008 à 01:46 (CET)

Démontration directe

Dans la démonstration, on utilise un complexe $c$ tel que $c^{k}=-b_{0}{\overline {b_{k}}}$ mais bon c'est pas évident que ca existe! À moins que je ne passe à côté de quelque chose... Valvino ^(discuter) 28 mars 2009 à 17:20 (CET)

Tu as raison, ce n'est pas évident. Je vais faire quelque chose. Jean-Luc W (d) 28 mars 2009 à 18:12 (CET)

J'ai ajouté un petit quelque chose. Dis moi si la nouvelle version correspond bien à ta remarque. Jean-Luc W (d) 29 mars 2009 à 11:29 (CEST)

Démonstration par le théorème de Rouché

J'ai ajouté une référence à la démonstration utilisant le théorème de Rouché (en analyse complexe), en espérant que vous la trouverez à propos. ThibautLienart (d) 16 juin 2009 à 17:10 (CEST)

Quelques remarques d'un relecteur

• Le choix de ne pas mettre en gras les lettres désignant des ensembles de nombres est troublant. Choix délibéré ou héritage d'une situation laissée à l'identique ?

• Je suis allé ouvrir le Samuel (Théorie algébrique des nombres) qui contient une preuve d'esprit Galois beaucoup plus élémentaire (pas de Sylow, de tours d'extensions quadratiques...). La connais-tu ? Il me semble qu'elle peut avantageusement remplacer le machin compliqué qui figure actuellement à l'article ; je peux même me charger de la retouche si feu vert (la seule difficulté sera de ne pas plagier, la démonstration étant particulièrement bien rédigée dans Samuel, je ne pourrai que la dégrader en la réécrivant dommage).

Je te laisse la main, et merci de ta proposition. Je crois que tu connais quelqu'un qui a brillé à un oral de l'agrégation sur cette question, il saura agir avec sagacité.

. Il te reste à voir si tu gardes la preuve de Frobenius (pas inenvisageable au fond), probablement à revoir un peu ma typographie (j'ai fait effort pour utiliser peu les balises math par compatibilité avec ton style, mais n'ai pas su y échapper à la fin quand il faut écrire un conjugué) et à penser à remettre en harmonie la toute fin de la section historique en fonction de la nouvelle tournure de l'article. typo revue

• Pas très convaincu par le paragraphe d'explications qui suit l'énoncé du théorème, qui me semble un peu contourné (que viennent faire les "nombres réels" dans cette galère ? est-il judicieux de supposer l'axiome du choix le temps d'une phrase ?). Je ne trouve pas bien judicieux d'y parler de "clôture algébrique". Pourquoi ne pas le supprimer et ajouter simplement un corollaire 3 : « C est algébriquement clos » avec un lien bleu pour dire ce que veut dire "algébriquement clos". Jean-Luc W (d) 16 avril 2009 à 12:50 (CEST)

Tu rejoins l'opinion d'El Caro. Je vais donc vous donner raison.

• Je ne suis pas du tout convaincu par la section "Usages". Le calcul des primitives de fractions rationnelles est très artificiel et boiteux : veut-on faire un calcul (auquel cas « le dénominateur se factorise » mmmouais on le met dans une boîte et on attend qu'il se factorise tout seul ?) ou simplement dire qu'il est faisable boaf boaf. L'exemple des endomorphismes auto-adjoints réels, boaf boaf aussi vu que si je ne dis pas de bêtise on doit pouvoir faire avec le grand axe de l'ellipsoïde et tout ça ; le troisième exemple me semble un peu artificiel : c'est tout Q barre qui se plonge dans C, c'est un peu bizarre de vouloir plonger une extension de degré n particulière et d'avoir besoin du th. de l'élément primitif, donc d'un résultat algébrique relativement avancé pour un résultat un peu décevant.

Je médite sur la difficile question que tu ouvres.

• et je ne regarde pas la partie historique, je fais confiance. Touriste (d) 15 avril 2009 à 00:42 (CEST)

hmm… bien optimiste, compte tenu des innombrables inexactitudes de cette plume déjà réparées ici et ailleurs ! pour un article si important, il vaudrait mieux passer ça au peigne fin. Anne (discuter) 28 juin 2014 à 14:24

Même avis après quelques "sondages", ça vaudrait le coup de revoir le tout à la lumière des deux articles de Gilain, celui de Baltus, et celui dans le bulletin de l'apmep. Il y a quelques déclarations étranges et non sourcées. Proz (discuter) 1 juin 2015 à 20:38 (CEST)

Remarques d'un autre lecteur

Pour la clôture algébrique, affirmer que “le théorème de D'Alembert exprime que la clôture algébrique des nombres réels est le corps des nombres complexes." me paraît même faux. Ce théorème ne dit pas que C est le plus petit corps algébriquement clos contenant R. ---- El Caro ^bla 15 avril 2009 à 11:32 (CEST) Jean-Luc W (d) 16 avril 2009 à 12:48 (CEST)

Pour la décomposition en éléments simples, l'exemple ne me paraît pas pertinent, car il est dans R. Que se passe-t-il si les coefficients sont complexes non réels, l'intégration est-elle alors aussi "aisée" (il faudrait aussi expliquer en quoi elle est aisée) ? Ici, le théorème sert à démontrer que toute fraction rationnelle est "aisément" intégrable (avec la connaissances de certaines fonctions) mais cela mérite d'être développé et sourcé avec autre chose qu'un site perso de cours en ligne (les livres de cours de prépa en regorgent, il me semble). ---- El Caro ^bla 15 avril 2009 à 12:20 (CEST)

Merci El Caro pour tes remarques.

J'ai pris en compte la première. Comme à l'agrégation, il est dit spécifiquement que la propriété de clôture algébrique de C est au programme, il me semble peu habile de supprimer cette information. Mais tu as raison, en toute rigueur, le fait que C soit une clôture algébrique de R est un corollaire (assez direct même) mais il faut ajouter un petit quelque chose à propos des mots le plus petit. La nouvelle version te convient-elle ?

Ta deuxième remarque me semble aussi pertinente, mais Touriste remet plus profondément en cause le paragraphe entier. La complétude de C intervient de manière beaucoup plus importante qu'uniquement dans les trois exemples. A son goût, il lui semble que ce choix d'exemples est arbitraire. Je pense qu'une réforme plus profonde s'impose. Es-tu toi aussi convaincu par les propos de Touriste ?

Je rebondis sur ta relecture. Si, en train d'énergie, tu pouvais relire la partie histoire, je serais sûr que l'article a été relu en profondeur.

Merci encore pour tes nombreuses et sagaces relectures. Jean-Luc W (d) 15 avril 2009 à 12:54 (CEST)

C'est vrai que ce théorème est l'une des deux ou trois raisons pour lesquelles on travaille souvent dans C alors que l'objectif est d'obtenir des résultats dans R... Cela étant dit, qu'ajouter ? Des exemples, qui sont foison, du genre "Soit K un corps... bla bla archi théorique... dans la suite on pose K=C". Le choix des exemples est forcément un PdV. Faut-il des exemples ? Je crois que oui. Lesquels ? Chaque spécialiste d'une notion va voir midi à sa porte, il va falloir sourcer avec des pointures incontestables.

Il y a des digressions intéressantes sur le Godement : http://books.google.fr/books?id=CQW2RyJ8UsEC p. 325 et suivantes l'as-tu lu ? ---- El Caro ^bla 15 avril 2009 à 13:32 (CEST)

Pour preuve que l'exemple de la décomposition en éléments simples est bon : il est cité dans le Godement, p. 98, avec un bon développement, comme il faudrait faire ici. ---- El Caro ^bla 15 avril 2009 à 13:47 (CEST)

C'est finalement la partie vraiment difficile de l'article. La différence majeure entre R est C est bien la clôture algébrique, troqué contre une relation d'ordre qu'il faut bien abandonner. Mon choix d'exemples est non seulement PdV mais aussi arbitraire. Ta solution, avec la pointure incontestable est une sortie par le haut (à condition qu'elle existe). Pour l'instant, je cherche deux pistes : les agrégatifs qui se creusent la tête sur cette question et le recensement de l'usage du théorème dans WP. Touriste cherche aussi de son coté. Je suis persuadé que nous finirons par trouver quelque chose de défendable. En attendant, je vais potasser ton Godement (s'il a traité la question, pour ma part je le considère comme faisant parti des incontestables).

Je propose de se mettre au préalable d'accord sur le choix des exemples retenus. Comme toi, je pense que la décomposition en éléments simples a du bon (à condition de ne pas omettre les détails qui se produisent si les racines sont complexes, comme tu le fais remarquer à juste titre), mais je ne sais pas encore répondre à la question globale : comment justifier un choix d'exemples? Jean-Luc W (d) 15 avril 2009 à 14:09 (CEST)

Il me semble que la décomposition en éléments simples est réellement une préoccupation historique. Je propose une pointure : Euler Recherche sur les racines imaginaires des équations

« Quoiqu'il semble que la connaissance des racines imaginaires d'une équation ne puissent avoir aucune utilité (...) il est fort important dans toute l'analyse de se rendre familier le calcul des quantités imaginaires (...) Car toutes les fois qu'il se présente à intégrer une fraction, il faut résoudre le dénominateur dans tous ses facteurs simples, soit réels soit imaginaires (...) » (Citation d'Euler extraite de Histoire des nombres complexes Dominique Flament)

HB (d) 15 avril 2009 à 16:15 (CEST)

Et d'un ! Voilà au moins un exemple parfaitement justifié, merci HB. Oserai-je avoir l'impertinence de te demander un numéro de page ? Jean-Luc W (d) 15 avril 2009 à 16:26 (CEST)

situé page 73 chez Dominique Flament qui cite la page 224 de l'ouvrage d'Euler, Recherches sur les racines imaginaires des équations (1749) Mémoire de H.A.R.S.B.L. de Berlin (1751). HB (d) 15 avril 2009 à 16:33 (CEST)

Je continue à jouer mon empêcheur de tourner en rond sur cette question de d'Alembert-Gauss et l'intégration, nonobstant ce qu'a pu écrire Euler <troll>cf. Discussion:Abbaye Saint-Corneille/Bon article sur l'usage de sources anciennes</troll>. Je ramène la citation suivante de la p. 630 de Modern computer algebra (Joachim von zur Gatten et Jürgen Gerhardt) : « Most undergraduate calculus textbooks contain an integration algorithm for rational functions by factoring the denominator into linear polynomials over the complex numbers (or at most quadratic polynomial over the real numbers) and performing a complete partial function decomposition. For rational functions with only simple poles, this algorithm first appears in J. Bernoulli (1703). For symbolic computation, this approach is inefficient since it involves polynomial factorisation and computation with algebraic numbers (...) ». Malgré l'indéniable intérêt historique de la méthode, et son utilité pédagogique <troll>(elle permet d'écrire des exercices complètement répétitifs et très faciles et donc dans le droit fil de la stratégie de Lisbonne et du processus de Bologne d'améliorer la productivité de notre enseignement supérieur dans une véritable démarche qualité)</troll> elle ne me semble pas à sa place dans un article généraliste qui sélectionne l'essentiel et doit donc montrer le savoir en privilégiant un point de vue contemporain. Pour faire une concession, si on tient vraiment à cet exemple, pourquoi pas expliquer qu'il permet de justifier que les fractions rationnelles ont des primitives dans le monde où on dispose des seules fonctions Log et Arctan (mais en présentant ça comme un résultat _théorique_ surtout pas comme un algorithme de recherche de cette primitive) ? Touriste (d) 16 avril 2009 à 11:14 (CEST)

Note à El Caro : pas trouvé ce que tu désignais par les pages 98 et 325 du Godement, il doit y avoir eu changement de pagination entre deux éditions successives. Peux-tu donner les titres de section que j'aille voir ? Touriste (d) 16 avril 2009 à 11:14 (CEST)

C'est dans le lien donné plus haut : http://books.google.fr/books?id=CQW2RyJ8UsEC V. Calcul différentiel et intégral paragraphe 20. Je pense comme toi qu'on ne peut pas s'appuyer sur une source ancienne (sauf pour montrer que l'intérêt est ancien) et dans mon idée ce paragraphe devrait exister, mais comme justification théorique. D'ailleurs, c'est ce que fait Godement. Comme quoi les grands esprits... ;) ---- El Caro ^bla 16 avril 2009 à 11:50 (CEST)

Deux suggestions plus positives (et quelques pistes beaucoup plus vagues)

Quelques pistes, plus ou moins précises, sur des trucs qu'on pourrait mettre dans l'article :

• autant je n'aimais pas la diagonalisation des endos symétriques (se fait à la main), autant la forme normale des endos orthogonaux me semble (si je ne me plante) franchement reposer sur d'Alembert-Gauss. Sans celui-ci, on doit arriver sans trop de mal à montrer que orthogonal => normal => semi-simple (peut-être a-t-on besoin du corps de décomposition du polynôme caractéristique, mais pas de savoir qui est ce corps). Mais le truc crucial que donne d'Alembert-Gauss et que je ne vois pas bien comment obtenir autrement, c'est le fait qu'une fois semi-simple, l'endomorphisme se laisse décomposer en somme de rotations planes et de trucs triviaux sur des droites. On doit pouvoir en tirer quelque chose ;
• l'article mériterait de contenir un lien vers théorème de Gelfand-Mazur : après tout d'Alembert-Gauss n'est que le cas particulier de ce théorème quand on suppose en plus l'algèbre A commutative et de dimension finie. Le lien aurait sa place après la preuve via Liouville.

Faudrait peut-être fouiller au niveau de la géométrie algébrique réelle, ou de R vu comme complétion de Q pour une valeur absolue remarquable et applications en théorie des nombres (allô Salle ?) mais je manque d'idées sur ces deux pistes - j'y connais franchement rien faut bien dire. Ou trouver des contextes en géométrie algébrique complexe où on se sert _à la fois_ du fait que le corps est algébriquement clos et qu'on peut y faire de l'analyse complexe (donc du fait que C est algébriquement clos) - mais lesquels ? Touriste (d) 16 avril 2009 à 15:36 (CEST)

Je repasse, d'une part pour rappeler que la partie Usages n'est toujours pas en état définitif (Jean Luc W n'aurait-il pas trop de chantiers à relecture ouverts à la fois ?) et pour signaler qu'il y a un chapitre sur ce sujet dans l'ouvrage collectif «  Les nombre sleur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles » traduit de l'allemand et publié chez Vuibert (auteurs Ebbinghaus et al., l'auteur pour le chapitre sur d'Alembert-Gauss étant de:Reinhold Remmert). L'esprit de ce chapitre est manifestement très voisin de celui de cet article, ce qui est bon signe ; on doit pouvoir en tirer plein de choses si on veut le faire encore progresser. Tiens je vais déjà l'ajouter en section bibliographique. Touriste (d) 29 avril 2009 à 13:37 (CEST)

Remarques sur la partie Usages

Bonjour,

Suite à une discussion avec Salle (d · c · b), je travaille en ce moment sur les articles sur les nombres complexes. Je passe donc sur cet article, que j'ai sagement catégorisé dans Catégorie:Nombre complexe. Je réagis ici sur et seulement sur le paragraphe Usages. Je vois que je n'ai pas été le seul, Touriste (d · c · b) ci-dessus m'a précédé de trois mois.

• Analyse : La décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples me semble un énoncé équivalent. Dans ce cas, l'énoncer implicitement dans le paragraphe Usages est il justifié ? Il est vrai que la décomposition du dénominateur permet de trouver des primitives d'une fraction rationnelle. Aussi est-ce utile pour des équations différentielles où les coefficients sont des fractions rationnelles. Mais le théorème de d'Alembert-Gauss énonce seulement une possibilité. Cette méthode n'est donc pas effective. Je repose donc ma question. En quoi est-ce un usage ? Et d'ailleurs, où utilise-t-on vraiment le théorème fondamental de l'algèbre dans l'exemple ?
• Algèbre linéaire : Si u est un opérateur autoadjoint d'un espace euclidien E, le maximum sur la sphère unité de l'application différentiable $v\mapsto \|u(v)\|^{2}$ est un vecteur propre de u. On peut donc contourner ici l'utilisation du théorème fondamental en utilisant le calcul différentiel. Touriste (d · c · b) a raison sur ce point. Mais disposer d'autres démonstrations n'exclut pas que ce résultat reste une jolie application du théorème fondamental.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 14 juin 2009 à 19:02 (CEST)

Dans un échange sur l'article Fibré en coniques (d · h · j · ↵), son créateur Jean de Parthenay (d · c · b) m'a mentionné un classique des oraux en classe préparatoire, qui peut ici être présenté comme une application du théorème fondamental. (Je n'y avais tout simplement pas songé.)

Un polynôme à coefficient réels P(X) est la somme de deux carrés de polynômes (P=Q²+R²) ssi il prend des valeurs positives sur R.

Le résultat est-il suffisamment notoire pour l'insérer dans le corps de cet article ? Jean de Parthenay (d · c · b) dispose-t-il d'applications en géométrie algébrique qui rendent ce résultat moins anecdotique ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 16 juin 2009 à 20:04 (CEST)

Message transféré de Discussion:Théorème de d'Alembert-Gauss/À faire

Dans l'introduction il y a écrit que tout polynôme est scindé dans le corps des complexes. Bien que l'auteur fasse référence au polynôme à coefficients réels, rationnels ou entiers juste avant, je pense qu'il serait bien de préciser quand même que cette propriété est vrai pour les polynômes à coefficients réels mais pas pour les polynômes à coefficients complexes donc qu'il faudrais préciser polynomes réels sinon la propriété est fausse.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 84.102.78.134 (discuter), le 7 janvier 2011.

Non, elle est vraie. Anne (d) 8 mai 2012 à 18:59 (CEST)

Kneser : pas que Adolf

Je n'ai pas Remmert sous la main, mais il semble que dans l'article cité il dit aussi : M. Kneser in 1981 further simplified his father's process in a paper entitled « Erganzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz… » Anne (d) 1 mai 2012 à 23:27 (CEST)

Quelle famille! En fait il s'agit de deux avancées; Adolf en 1888 (Remmert p 100) propose une théorie permettant de créer un corps de rupture pour toute équation algébrique. Je lis mal l'allemand et n'ai pas accès au document mis en source (lien brisé actuellement) mais il est aussi résumé ici. Son fils et petit fils proposent une version constructive de ce théorème. Remmert p 108 écrit que Weierstrass trouve que sous certaines condition, on peut trouver une suite convergeant vers la racine (1859) , se pose la question en 1891 : "peut-on toujours trouver une construction effective ?" et la réponse lui est donné par H Kesner en 1940 et simplifié par son fils en 1981. Faut-il l'ajouter dans la section "Démonstrations itératives et effectivité" ? Si oui, il faudrait alors rajouter Hirsch et Smale. Je ne le ferai pas moi-même car je maitrise mal le sujet et ne pourrais que paraphraser Remmert. HB (d) 2 mai 2012 à 08:27 (CEST)

Moi encore moins puisque je n'ai même pas Remmert, mais j'ai fait les bios de tout ce (plus OU moins) joli monde et même de Kurt Hirsch (mathématicien) par erreur. Note que pour Hirsch-Smale c'est déjà là. Il te ? « suffirait » donc de parler de Hellmuth et Martin. Anne (d) 8 mai 2012 à 21:43 (CEST)

p.s. tu parles d'un lien brisé pour un document mis en source mais je ne trouve pas lequel, à moins que ce soit une fatigue, courante mais éphémère, du GDZ

§ La théorie de Galois

J'ai corrigé la phrase

... elle permet aussi de démontrer qu'il n'existe aucun corps commutatif contenu dans $\mathbb {C}$, contenant strictement $\mathbb {R}$ et autre que $\mathbb {C}$.

en rajoutant les mots en gras. Sans ces mots, elle était évidemment fausse. Il y a des tas de corps qui contiennent strictement $\mathbb {R}$ et qui ne sont pas isomorphes à $\mathbb {C}$. Ils sont transcendants sur $\mathbb {R}$. Un exemple facile est de prendre une extension transcendante pure de $\mathbb {R}$ dont le degré de transcendance est infini et de cardinal strictement supérieur à celui de $\mathbb {R}$ (qui est aussi celui de $\mathbb {C}$). Pour des raison évidentes de cardinaux, le corps ainsi construit contient strictement $\mathbb {R}$ et ne peut être égal à $\mathbb {C}$, il a un cardinal trop gros.

Il y avait plusieurs manières de corriger la phrase. On peut soit parler de "corps commutatif contenu dans $\mathbb {C}$", soit de "corps commutatif algébrique sur $\mathbb {R}$", soit de "corps commutatif de dimension finie sur $\mathbb {R}$". La première solution est probablement la meilleure, car elle évite de parler d'isomorphisme.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Gargamel (discuter), le 10 juin 2011.

« elle permet aussi de démontrer qu'il n'existe aucun corps commutatif contenu dans ℂ, contenant strictement ℝ et autre que ℂ » était trivial (tout s.e.v. d'un plan contenant strictement une droite est égal au plan), j'ai rectifié (on pourrait rajouter "à isomorphisme près" mais je pense que les liens suffisent à préciser ça).

Ça venait de cette version, voir aussi ci-dessus #Démonstration par Galois, et l'historique de l'article à l'époque de ce dialogue. Mais la phrase « La démonstration devient proche de celle de Frobenius, présentée dans cet article dans un langage plus moderne et plus puissant » faisait référence à un passage effacé depuis, qui parlait du théorème de Frobenius et le démontrait partiellement en faisant fonctionner Galois. Les démos qui se sont succédé dans l'article sont à présent attribuées (Artin) et accessibles en ligne (en anglais, mais plus lisibles) via les notes (Cox, et Lang qui est plus simple), et j'ai mis un lien vers le théo de Frobenius (en note seulement car quaternions hors-sujet, mentionnés juste pour préciser l'énoncé).

Anne (d) 16 mai 2012 à 13:43 (CEST)

Problème de notes

J'ai un problème avec les notes 14, 15 et 16. Comment faire pour arriver à la bonne page en 1 clic?--Otto Cyber (discuter) 7 mai 2014 à 11:45 (CEST)

J'ai trouvé pour les (ex-)notes 15 et 16 en googlifiant la première phrase de la page lue à l'écran, mais je n'ai pas accès à la fin du livre pour voir la page de l'(ex-) note 14 (N. Bourbaki, Algèbre, ch. 6 (Groupes et corps ordonnés), théorème 3 p. A VI.25).

• N. Bourbaki, Topologie générale, ch. 4 (Nombres réels), p. 12.
• N. Bourbaki, Topologie générale, ch. 8 (Nombres complexes), Théorème 1, p. 1.

Un peu de mise en forme en prime :

• (de) E. Artin et O. Schreier, « Algebraische Konstruktion reeller Körper », Abh. Math. Sem. Hansischen Univ., vol. 5,‎ 1927, p. 85-99 (DOI 10.1007/BF02952512), traduction en français par le groupe de travail : « Aux sources de la Géométrie Algébrique Réelle » de l'IRMAR.
• K(i) est algébriquement clos, où i est une racine carrée de –1
• i = √–1, K[X], K

Anne (discuter) 8 mai 2014 à 12:33 (CEST)

Merci!--Otto Cyber (discuter) 8 mai 2014 à 16:24 (CEST)

Preuve via les corps réel clos

Je ne comprends pas l'étape 0 (« Un corps ordonné vérifiant (b2) est nécessairement infini », où (b2) est « tout polynôme de degré impair dans K[X] admet une racine dans K »). Puisque tout corps est partiellement ordonné par l'égalité, je suppose qu'implicitement, corps ordonné signifie ici totalement ordonné, mais alors il est de caractéristique nulle donc infini, même sans (b2). Je n'ai pas accès à la réf de la note 15 (Bourbaki, Algèbre, ch. 6 (Groupes et corps ordonnés), § 2, démonstration de la prop. 8). Anne (discuter) 23 juin 2014 à 11:55

Très juste. La notion de corps ordonné utilisée ici n'est pas celle de Bourbaki, mais celle de Lang (Algebra, §XI.1) qui est plus générale.--Otto Cyber (discuter) 23 juin 2014 à 14:26 (CEST)

Je comprends encore moins car je pense avoir une preuve que la définition de Lang que tu as ajoutée aujourd'hui est équivalente à celle de corps totalement ordonné. Anne, 23/6/14 à 16h05

Oui, tu as raison. On peut donc simplifier la présentation.--Otto Cyber (discuter) 23 juin 2014 à 18:23 (CEST)

Au vu de ce commentaire, je tiens à préciser qu'en simplifiant le titre de la section concernée, j'ai pris soin de réparer les ancres ainsi brisées. Au final il n'y en avait qu'une — concernant en fait le changement précédent de titre, récent et fait sans cette précaution — mais c'est quand même du boulot ingrat donc prière à tous d'éviter ce genre de manip sans remédier aux dégats qu'elle entraîne. Anne (discuter) 25 juin 2014 à 22:06 (CEST)

§ Arithmétique

Je rejoins l'avis de Touriste sur ce troisième exemple, qu'il était gentil de trouver seulement « un peu » artificiel. Anne, 24/6/14 à 10h12

Je le supprimerai sous peu sauf avis contraire. Anne (discuter) 25 juin 2014 à 22:06 (CEST)

Remarque de notation pour homotopie

Bonjour,

une mini remarque en passant : pour le paragraphe de la démonstration utilisant l'homotopie ce serait chouette de mettre un autre lettre que \rho, qui se confond un peu avec le p du polynôme. Je n'ai pas lu l'article en entier, donc je n'ai pas changé, de peur de prendre une notation amenant encore plus de confusion. --Roll-Morton (discuter) 11 juillet 2014 à 12:43 (CEST)

Ok, merci Anne.--Roll-Morton (discuter) 11 juillet 2014 à 15:42 (CEST)

Faunsenet

Je déplace cette citation de l'article Théorie_des_équations_(mathématiques) (ajoutée par Anne), ce n'est pas un livre d'histoire des math., pour Euler et Lagrange c'est traité ici, mais ça mérite peut-être de chercher ce qui est attribué à Faunsenet : « Euler (1749), Faunsenet (1759) and Lagrange (1771) offered their proofs but these proofs were not without blemishes, either. The first to give a satisfactory proof was Gauss. » (en) Victor V. Prasolov, Polynomials, Springer, 2009 (lire en ligne), p. 1. Proz (discuter) 1 juin 2015 à 02:17 (CEST) modifié par Anne Bauval

C'est une traduction du russe : à peu près aucun doute qu'il s'agit d'une retraduction erronée de la transcription en russe de Foncenex (Réflexions sur les quantités imaginaires, FD de Foncenex 1759), voir par exemple cet article de Christopher Baltus 2004, D'Alembert's proof of the fundamental theorem of algebra, qui pourrait d'ailleurs être utile à l'article. Proz (discuter) 1 juin 2015 à 18:17 (CEST)

Deuxième preuve de Gauss

• Je ne comprends pas ce que peut signifier "Cette fois-ci, il remplace les racines par des indéterminées", d'autant que la seconde preuve est très différente de la première manifestement.
• La seule hypothèse sur laquelle elle repose est le fait qu'un polynôme réel de degré impair a une racine, il connaît je suppose la résolution des équations quadratiques à coeff. complexes ? Proz (discuter) 1 juin 2015 à 20:49 (CEST)

Citation de sa source (Remmert, «le théorème fondamental de l'algèbre», dans Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles, p. 102 :« Gauss emprunte l'idée algébrique fondamentale à Euler et utilise une simplification proposée en 1759 par De Foncenex ; il emploie le concept véritablement algébrique d'indéterminée bien qu'il n'ait pas à sa disposition le concept général de corps. Il exécute des opérations mathématiques que ses prédécesseurs avaient exécutées sur des racines dont l'existence était supposée sans que cela soit légitime; les calculs de Gauss sont parfaitement valables parce que les termes sont légitimement considérés comme des indéterminées ». Cela reste un peu obscur pour moi, mais ce que j'en comprends c'est que travailler sur des racines dont on suppose l'existence pour en démontrer l'existence c'est mal, mais travailler sur des racines comme sur des objets formels c'est bien. Je suppose que le «cette fois-ci» de notre article renvoie non pas à un changement par rapport à la première preuve, mais à un changement par rapport aux preuves analogues de ses prédécesseurs.

Oui, la seule hypothèse qu'il fait est l'existence d'une racine réelle à un polynôme de degré impair (selon la même source) mais il utilise probablement (pas précisé dans la source) le résultat connu sur les racines d'un polynôme du second degré à coefficients complexes. Les deux faits ne doivent pas être mis au même niveau. HB (discuter) 2 juin 2015 à 08:19 (CEST)

Je pense qu'on peut éliminer le second. Pour la question des indéterminées : je comprends mieux maintenant (c'est à réécrire). Il ne fait pas ce reproche à ses prédécesseurs dès sa première preuve ? Proz (discuter) 2 juin 2015 à 10:06 (CEST)

Remerciements et felicitations

Je copie le message que j'ai posté sur Projet:Mathématiques/Le Thé

J'avais toujours eu le regret de ne pas connaître de démonstration du théorème fondamental de l'algèbre malgré mes deux années de prépa intégrée. En allant sur l'article en question, j'ai été plus que comblé (encore, qu'il faille que j'y retourne afin d'en assimiler la totalité). Je remercie et félicite chaleureusement donc l'ensemble des contributeurs sur cet article pour avoir fait un article de cette facture. Je profite de cet acte pour féliciter aussi les contributeurs s'occupant des mathématiques sur wikipedia, les articles ayant fait l'objet de leur soin étant très bons en règle générale. Je notifie les contributeurs principaux en volumes de l'article (plus de 1000 octets et enregistrés) Jean-Luc W, Nefbor Udofix, Anne Bauval, Otto Cyber, L0stman, Bacprojet, Dfeldmann ce qui ne veut pas dire que les autres sont oubliés, mais ils sont simplement trop nombreux pour que le système de notification fonctionne correctement. Xavier Combelle (discuter) 24 décembre 2016 à 01:21 (CET)

Étourderie difficile à corriger dans démonstration directe (3.1)

Bonjour, Il y a une erreur dans la démonstration directe. À un moment on définit un polynôme qui est une "translation" de P, en fait on a P(z_0)=m et on veut Q(0)=m. On devrait définir Q par Q(z)=P(z-z_0). On trouve à la place Q(z)=P(z+z_0), c'est évident que c'est une petite étourderie. J'ai voulu faire la modification, mais la modification du contenu de l'objet démonstration est assez difficile, faut passer par un menu, ça découpe tout en petits morceaux. J'ai voulu me lancer mais n'ai même pas compris comment supprimer un indice. Si quelqu'un qui connait un peu mieux l'objet démonstration de wikipédia peut s'en occuper, ce serait vachement sympa. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Un autre type (discuter), le 26 janvier 2018 à 15:12 (CET)

Il n'y a pas d'erreur, c'est bien Q(z)=P(z+z_0) qui donne Q(0)=P(z_0)=m, tandis que Q(z)=P(z-z_0) donnerait Q(0)=P(-z_0). Anne, 18 h 13

Valeur absolue manquante (?) dans la preuve directe

Dans la partie Il existe un point z0 en lequel le minimum du module de P(z) est atteint, il me semble que les grandes parenthèses qui entourent la définition de $K_{z}$ devraient être une valeur absolue. En effet, si j'ai bien suivi on utilise la forule $|a+b|\geq {\big |}|a|-|b|{\big |}$ — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Laurent.Claessens (discuter), le 17 septembre 2018 à 05:38.

Pas besoin de valeur absolue : on utilise seulement que $|(a+b)-b|\leq |a+b|+|-b|$. Anne, 7 h 43

ok, merci. Je vois que ce passage a été modifié depuis lors. C'est mieux tel qu'à présent, en invoquant l'équivalence.

Laurent.Claessens (discuter) 28 septembre 2018 à 22:31 (CEST)

Proposition équivalente intéressante

Il me semblerait utile au lecteur de présenter la proposition forte équivalente au théorème de D'Alembert-Gauss: "Un polynôme de degré n admet exactement n racines, comptées avec leur ordre de multiplicité." Cela inclut les polynômes constants non nul. C'est, en tout cas pour moi, ce qui justifie le statut de théorème fondamental de l'algèbre. Yann Cogan (discuter) 29 septembre 2022 à 16:18 (CEST)

L’utilité pour le lecteur (un concept très subjectif) n’est pas notre premier critère sur Wikipédia : cette forme est-elle présente dans les sources (et, soyons sincères, elle est nettement moins claire pour le lecteur naïf, la notion de racine multiple n’ayant rien d’évident) est la première question à se poser. Dfeldmann (discuter) 29 septembre 2022 à 17:17 (CEST)

Il me semble que l'un des intérêts essentiels de Wikipédia est de permettre à des non spécialistes d'avoir un accès aussi clair que possible à tous les domaines du savoir. Peut-être que les spécialistes (les sources) ne considèrent pas cette proposition équivalente car elle est moins fondamentale et utile dans la théorie, mais elle permet à tous de percevoir la profondeur, la puissance et l'utilité pour eux de ce théorème. C'est une conséquence essentielle.

Je trouve regrettable qu'un article de Wikipédia sur ce théorème n'évoque pas cette propriété remarquable au regard de la résolution des équations polynômiales (soucis de tout élève et tout étudiant), ne fusse que présentée comme remarque ou comme conséquence.

Suis-je le seul à penser ainsi ? Yann Cogan (discuter) 29 septembre 2022 à 21:10 (CEST)

Le seul, ce serait étonnant. Mais parmi les mathématiciens ? Parmi les enseignants ? Avez-vous une source ? Et bien que ce soit déconseillé ici de partir de son sentiment personnel, selon moi (mais je ne suis pas le seul) l’énoncé intéressant, c’est que tout polynôme à une racine ; la conséquence que vous en tirez est un résultat d’algèbre élémentaire, figurant (sous une forme plus claire) dans l’article , carb cette notion d’ordre de multiplicité est justement peu accessible aux novices (du moins si j’en crois mon expérience de prof de prépa) Dfeldmann (discuter) 29 septembre 2022 à 21:33 (CEST)