Théorème de Gelfand-Mazur

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Dans la théorie des opérateurs, le théorème de Gelfand-Mazur (démontré par Israel Gelfand et Stanisław Mazur) est le suivant :

Théorème — Toute algèbre de Banach sur le corps des complexes qui est un corps est isomorphe au corps complexe.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soit x un élément non nul d'une telle algèbre, dont l'unité sera notée e.

donc

ce qui prouve que le rayon de convergence de la série entière

est fini.

Ainsi, il existe un complexe λ tel que x – λe soit non inversible et donc x = λe.

Remarque.

L'existence d'un complexe λ tel que x – λe soit non inversible, c'est-à-dire d'une valeur spectrale de x, peut aussi se déduire du fait que le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach complexe n'est jamais vide.

Histoire[modifier | modifier le code]

Mazur a annoncé en 1938[1],[2] le théorème plus général suivant :

Toute -algèbre associative normée à division est isomorphe à ℝ, , ou .

Sa preuve – bien que très succincte[3] – était trop longue pour être acceptée par l'éditeur, mais il en transmit les détails à son élève Wiesław Żelazko (de), qui les publia en 1968[4].

C'est donc Gelfand qui donna, en 1941[5], la première preuve publiée de l'énoncé, mais sous sa forme simplifiée (pour une ℂ-algèbre complète[6]) permettant d'utiliser la théorie des fonctions holomorphes (à valeurs dans un espace de dimension infinie mais se ramenant au cas usuel par le théorème de Hahn-Banach[3]).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. S. Mazur, « Sur les anneaux linéaires », Annales de la Société polonaise de mathématiques, vol. 17, juin 1938, p. 112
  2. S. Mazur, « Sur les anneaux linéaires », CRAS, vol. 207, novembre 1938, p. 1025-1027
  3. a et b Pierre Mazet, « La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées », Gazette de la SMF, vol. 111,‎ (lire en ligne)
  4. dans son livre Algebry Banacha (en polonais), traduit en anglais en 1973
  5. (de) I. Gelfand, « Normierte Ringe », dans Mat. Sb., vol. 51, 1941, 3-24
  6. De plus, les algèbres qu'il considérait étaient commutatives, mais la preuve de ce résultat n'utilisait pas cette propriété : (en) James Michael Gardner Fell et Robert S. Doran, Representations of *-Algebras, Locally Compact Groups, and Banach *-Algebraic Bundles, vol. 1, Academic Press, (ISBN 978-0-12252721-0, lire en ligne), p. 375

Articles connexes[modifier | modifier le code]