Groupe résoluble

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En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions.

Histoire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème d'Abel (algèbre).

La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, etc.).

Définition[modifier | modifier le code]

Un groupe G est résoluble lorsqu'il existe une suite finie G0, G1, …, Gn de sous-groupes de G telle que :

I= G_0\subset G_1\subset \ldots\subset G_{n-1}\subset G_n = G

où pour tout i∈[0,n–1], Gi est un sous-groupe normal de Gi+1 et le groupe quotient Gi+1/Gi est abélien (\scriptstyle I est ici le sous-groupe trivial, i.e. constitué uniquement de l'élément neutre e de G).

G0, G1, …, Gn est donc une chaîne normale (en) dont tous les facteurs sont abéliens.

La suite G0, G1, …, Gn est dite suite de résolubilité de G. Si pour tout i∈[0,n–1], Gi ≠ Gi+1 (c’est-à-dire qu'il s'agit de sous-groupes propres), on l'appelle suite de résolubilité sans répétition.

Un groupe est résoluble si et seulement si sa suite dérivée est stationnaire à {e}. Le plus petit entier naturel n tel que Dn(G) = {e} est alors appelé la classe de résolubilité de G.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout groupe abélien est résoluble.
  • Tout sous-groupe d'un groupe résoluble est résoluble.
  • Tout groupe quotient d'un groupe résoluble (par un sous-groupe normal) est résoluble (ce qu'on peut reformuler en : s'il existe un morphisme de groupes surjectif d'un groupe résoluble sur G, alors G est résoluble).
  • Si H et G/H sont résolubles, alors G est résoluble (en particulier : si H et K sont résolubles, alors H×K est résoluble).
  • Un groupe simple est résoluble si et seulement s'il est commutatif, ce qui a lieu si et seulement si c'est un groupe d'ordre premier (donc cyclique fini).
  • Un groupe fini est résoluble si et seulement si, dans « sa » suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient est d'ordre premier (puisque pour un groupe résoluble, les quotients d'une suite de Jordan-Hölder sont à la fois simples et résolubles).

Exemples[modifier | modifier le code]

Théorème de Feit-Thompson[modifier | modifier le code]

Tout groupe fini d’ordre impair est résoluble.

Il en résulte que tout groupe fini simple non abélien est d’ordre pair et contient donc au moins une involution (c'est-à-dire un élément d'ordre 2).

Article détaillé : Théorème de Feit et Thompson.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) K. Doerk et T. Hawkes, Finite Soluble Groups, Berlin, de Gruyter, 1992
  • (en) J. C. Lennox et D. J. S. Robinson, The theory of infinite soluble groups, Oxford University Press, 2004

Articles connexes[modifier | modifier le code]

  • Groupe polycyclique (en) (i.e. groupe résoluble noethérien ou, ce qui est équivalent, résoluble par une chaîne normale dont tous les facteurs sont cycliques)
  • Groupe super-résoluble (en) (résoluble par une chaîne normale à facteurs cycliques, avec Gi normal non seulement dans Gi+1 mais dans G)