Wikipédia:Lumière sur/Théorème fondamental de l'algèbre
Ce « Lumière sur » a été ou sera publié sur la page d'accueil de l'encyclopédie le lundi 10 août 2009.
En mathématiques, le théorème de d’Alembert-Gauss est parfois appelé le théorème de d’Alembert ou encore le théorème fondamental de l’algèbre. Il indique que tout polynôme non constant à coefficients dans les nombres complexes admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur , le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c’est-à-dire qu’il se décompose de manière unique en produit d’une constante et d’autant de polynômes unitaires du premier degré que le degré de P.
Le temps a rendu l’expression de théorème fondamental de l’algèbre un peu paradoxale. Il n’existe en effet aucune démonstration purement algébrique de ce théorème. Il est nécessaire de faire usage de résultats topologiques ou analytiques pour sa démonstration. L’expression provient d’une époque où l’algèbre s’identifiait essentiellement avec la théorie des équations, c’est-à-dire la résolution de l’équation polynomiale. Les frontières de l’algèbre ont maintenant changé, le nom du théorème est resté…