Annulateur d'une partie d'un module

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image illustrant l’algèbre
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Soit M un module sur un anneau A et S une partie de M. On appelle annulateur de S et on note Ann(S) l'ensemble :

Si M est un module à gauche, alors Ann(S) est un idéal à gauche de A, et si M est un module à droite, alors Ann(S) est un idéal à droite de A. On peut cependant remarquer que quel que soit le type de module considéré, Ann(M) est un idéal bilatère.

En effet, si M est un module à gauche, alors Ann(M) est un idéal à gauche. Et si , et , alors (car et que ) donc , ce qui prouve que est également un idéal à droite de A.

(On pouvait également remarquer que Ann(M) n'est autre que le noyau du morphisme d'anneaux )

Un élément x de M est dit simple, si , autrement dit si Ann({x}) = {0}.