Aberration (optique)

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On définit les aberrations optiques comme étant l'écart entre l'image réelle et l'image idéale d'un objet par un système optique parfait. Dans un système optique idéal tous les rayons émis par un point situé dans le plan objet seraient parfaitement focalisés en un seul point dans le plan image. Les différentes contributions faisant que certains rayons ne se focalisent pas en ce point sont appelées aberrations. Il est possible de classer les aberrations en deux groupes, les aberrations chromatiques, dépendantes de la longueur d'onde, et les aberrations géométriques, dépendantes de paramètres géométriques comme l'angle d'inclinaison du faisceau incident ou la position du rayon dans la pupille. Les aberrations optiques diminuent la qualité des systèmes optiques (objectifs photo, viseurs, lentilles…). Leur réduction fait souvent appel à des techniques perfectionnées (verres de grandes dimensions, nombreuses lentilles, dont les aberrations s'annulent mutuellement, lentilles asphériques, etc.).

À ne pas confondre avec l'aberration de la lumière, découverte par l'astronome James Bradley en 1725. Ce phénomène se traduit par le fait que la direction apparente d'une source lumineuse dépend de la vitesse de celui qui l'observe, de la même façon que la pluie semble tomber depuis une direction située vers l'avant d'un véhicule et non à la verticale de celui-ci quand celui-ci se déplace.

Description du phénomène d’aberration[modifier | modifier le code]

Approche géométrique[modifier | modifier le code]

Le domaine de l’optique géométrique traite des systèmes optiques au travers des lois de Snell-Descartes (réfraction, réflexion) et du principe de Fermat selon lequel les rayons lumineux traversent un milieu en empruntant le chemin le plus rapide possible. L’aspect ondulatoire est mis de côté et l’on s’attache à décrire un faisceau non pas par son front d’onde mais par un ensemble de rayons discrets suivant les lois précédemment citées.

Une aberration optique aura alors pour conséquence que le point d’impact réel du rayon lumineux sur le plan image sera décalé par rapport au point d’impact théorique de ce rayon. Les lois de réfraction et réflexion en  \sin{(\theta)} font qu’il est possible de linéariser (par un développement limité) un problème qui sans cela serait très complexe à résoudre. Ainsi l’écart entre point image réel et point image idéal peut être décrit par un polynôme de degré 3 ou supérieur.

Approche ondulatoire[modifier | modifier le code]

Il est possible d'analyser les aberrations d'un point de vue ondulatoire, en termes de fronts d’onde. En optique ondulatoire, un système idéal imageant parfaitement un point objet n'est limité que par la diffraction, c'est-à-dire que seule la diffraction intervient et que les aberrations ne déforment pas le front d'onde.

Dans cette approche donc, le système optique idéal donnera une tache image et non un point unique, tache dont le diamètre sera : D \simeq 2.44 \lambda f/ \# avec λ la longueur d'onde d'étude et f/# le nombre d'ouverture du système. On constate que les aberrations chromatiques sont présentes, de par la dépendance du diamètre de la tache image à la longueur d'onde.

On parlera en termes de surface d’onde, et c'est la déformation de la surface d'onde sortant du système optique par rapport à la surface d'onde idéale (plane ou sphérique) qui est causée par les aberrations. Il faut cependant différencier deux types de déformation de surface d'onde :

  • Déformation causée par des aberrations
  • Déformation causée par des défauts sur les optiques. Par exemple :
    • Bulles et inclusions
    • Défaut de planéité
    • Rayures
    • Picots

Ces défauts font l'objet de spécifications particulières pour la qualité des optiques[1],[2] et ne sont pas à considérer comme des aberrations.

Méthode de calcul[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs méthodes pour traiter numériquement les aberrations d'un système optique.

Somme de Seidel[modifier | modifier le code]

C’est en 1857 que Ludwig von Seidel développe une méthode permettant de séparer et analyser les aberrations optiques[3]. Ainsi sont découvertes et nommées 5 premiers types d’aberrations du troisième ordre qui sont :

  • Aberration sphérique
  • Coma
  • Astigmatisme
  • Courbure de champ de Petzval
  • Distorsion.

Jusque là, les aberrations n’étaient pas calculées de manière analytique, et seul un tracé de rayons, long et laborieux permettait de trouver à quel point le système était aberrant.

Deux méthodes existent pour trouver les termes exacts des aberrations de Seidel : par le calcul de la loi de Descartes pour chaque élément de la combinaison optique, hors de l'approximation de Gauss (donc pour un développement limité à un ordre supérieur à 1), soit par la méthode développée par Buchdahl[4] qui permet de connaître les termes exacts de la série de Seidel pour les aberrations d'ordre 3 et supérieur.

La caractéristique principale de cette description des aberrations est qu’elle permet de prendre en compte les caractéristiques du système optique, sa symétrie de révolution, la conique des surfaces, etc. Les séries de Seidel présentent donc un avantage particulier pour la conception optique, domaine de l’optique consistant à concevoir et améliorer des systèmes optiques (viseurs, objectifs, systèmes à miroir, télescopes, etc.) car elles sont reliées de manière évidentes aux aberrations du 3e ordre.

Polynômes de Zernike[modifier | modifier le code]

C’est en 1936 que Zernike améliore la description analytique des aberrations en créant une famille de polynômes nommés polynômes de Zernike. Ceux-ci sont orthogonaux dans le cercle unité (mais pas sur une portion de celui-ci) et permettent de décrire efficacement les aberrations d’ordre supérieur et prendre en compte le piston ou le tilt. Là où la série de Seidel permettait de prendre en compte la symétrie de révolution du système, les polynômes de Zernike sont plutôt une description du front d'onde sans relation directe avec le système optique. Chaque monôme décrit alors une aberration spécifique sur la surface du cercle unité.

Il est possible de relier les polynômes de Zernike aux polynômes de Seidel, cependant ceci n'est pertinent que dans un système où l'on n'étudie que les aberrations du 3e ordre. Au-delà, les contributions de certains des monômes de Zernike pour le 5e ordre s'ajoutent à celles du 3e ordre.

Si les polynômes de Zernike sont de plus en plus employés dans les logiciels d’optimisation optique, leur prédominance dans le domaine de l’analyse de front d’onde et de l’optique adaptative est sans conteste, du fait de l’approche plus ondulatoire que la série de Seidel.

Rapport de Strehl[modifier | modifier le code]

Le rapport de Strehl nommé d’après le physicien Karl Strehl est une quantité exploitant le principe de front d’onde idéal et de front d’onde aberrant. On définit le rapport de Strehl comme le rapport entre la fonction d'étalement du point (ou PSF, pour Point Spread Function) au plan de meilleure mise au point pour un système limité par la diffraction et la PSF réelle entachée d’aberration. La formule est alors : S \simeq e^{-\left( \frac{2 \pi \sigma}{\lambda} \right)^2} où σ est l’écart quadratique entre le front d’onde parfait et le front d’onde aberrant, l’unité étant la même que celle choisie pour la longueur d’onde \lambda.

Si le rapport de Strehl est un outil généralement utile et efficace pour juger de la qualité d’une optique, il demeure limité et n’est applicable qu’à un système dont la PSF réelle n’est pas trop différente de la PSF avec aberration. Un front d’onde trop perturbé peut produire un rapport de 0,9 tout en étant très mauvais.

Critère de Maréchal[modifier | modifier le code]

En 1947, André Maréchal développe l’idée d’un critère permettant d’évaluer la qualité d’un système optique et discute pour la première fois dans sa thèse[5] d’un critère de qualité optique, plus tard appelé critère de Maréchal. Il va alors plus loin que le critère de Rayleigh qui jusque là se bornait à donner un critère de résolution de \lambda/4 et énonce que l’écart RMS entre front d’onde idéal et front d’onde réel doit être inférieur à \lambda/14 ce qui ramené au rapport de Strehl, implique d’avoir un rapport de Strehl approché d’environ 0.82.

Aberrations géométriques[modifier | modifier le code]

Aberrations du troisième ordre[modifier | modifier le code]

Le tableau ci-dessous, résume les différentes aberrations optiques monochromatiques que l'on peut rencontrer dans un système réel, ainsi que les techniques usuelles de correction.

Aberration Caractéristiques Correction
Aberration sphérique Sur l'axe et hors d'axe
Flou
Optique non sphérique (par ex : parabolique)
Coma Hors d'axe
Flou et tache en forme d'aigrette
Optique non sphérique
Astigmatisme Hors d'axe
Deux plans de focalisation distincts
Polissage des surfaces et/ou optique complexe
Courbure de champ
"Petzvalien"
Hors d'axe
Plan focal courbe
Courbure du plan image et/ou optique complexe
Distorsion Hors d'axe
Déformation de tache
Symétrie de construction, traitement numérique…

Aberrations d'ordre supérieur[modifier | modifier le code]

Correction[modifier | modifier le code]

Aberrations chromatiques[modifier | modifier le code]

Historique[modifier | modifier le code]

Les aberrations chromatiques ont été constatées dès les premières lunettes astronomiques et considérées comme gênantes. Isaac Newton, qui crée son propre télescope pourvu d'un miroir et donc dépourvu d'aberrations de ce type, clame, dans un premier temps, l'impossibilité physique de la correction de ces dernières. Leonhard Euler postule, pour contrer cette affirmation, le caractère sans aberrations chromatiques de l'œil humain, fait dont le caractère erroné ne sera démontré que plus tard.

La primauté de la fabrication des premières lunettes corrigeant ces aberrations revient à Chester Moore Hall, barrister et opticien amateur, qui réalise le premier prototype dès 1733[6],[7]. Il utilise pour cela des verres spéciaux, contenant du plomb et dénomme son prototype Flint-glass.

Mais Hall préfère garder le secret sur son invention et fait fabriquer les 2 lentilles nécessaires, une en verre flint et une en verre crown par deux opticiens différents, Edward Scarlett et James Mann[8],[9],[10]. Par un singulier hasard, ces opticiens sous-traitent le travail au même fabricant George Bass. Bass comprend l'intérêt de cette technique mais lui non plus ne prend pas de brevet sur l'invention. Vers la fin des années 1750, il en révèle l'existence à John Dollond. Celui-ci devine le potentiel de ces lentilles et parvient à les reproduire puis à les breveter en 1758[11], ce qui lui vaut des différends avec d'autres opticiens sur les droits de fabrication et de commercialisation. On peut au moins considérer que Dollond a popularisé les lentilles achromatiques plutôt qu'il ne les a inventées. Par la suite, c'est son fils, Peter Dollond, qui invente les triplets apochromatiques.

En France, Jean le Rond D'Alembert et Alexis Claude Clairaut vont en théoriser l'optique, travaillant sur la superposition de lentilles de géométrie et d'indice différents[12].

Théorie[modifier | modifier le code]

Il est possible d'exprimer la focale d'une lentille en fonction de ses paramètres géométriques et de son indice. Ainsi nous avons :

\dfrac{1}{f'} = \dfrac{n_2-n_1}{n_1} \left(\dfrac{1}{R_2} - \dfrac{1}{R_1}\right) pour une lentille mince avec :

n1 indice du milieu n2 indice du verre R1 et R2 rayons de courbure de la lentille

Comme l'indice d'un verre est dépendant de la longueur d'onde :

\dfrac{1}{f'(\lambda)} = \dfrac{n_2(\lambda)-n_1(\lambda)}{n_1(\lambda)} \left(\dfrac{1}{R_2} - \dfrac{1}{R_1}\right)

On n'aura donc pas une seule distance focale mais une focale différente pour chaque longueur d'onde de fonctionnement du système optique. Comme les indices de verres augmentent au fur et à mesure que l'on va vers les longueurs d'ondes courtes, si le milieu est un gaz ou le vide, la variation d'indice sera très faible pour n1 par rapport à n2. De ce fait Les longueurs d'onde courtes seront focalisées plus loin sur l'axe optique que les grandes longueurs d'onde. Cette caractéristique des verres permet de les séparer en deux catégories, verres peu dispersifs et verres très dispersifs. Un verre dispersif aura ainsi tendance à séparer beaucoup plus les points focaux bleu et rouges qu'un verre peu dispersif. En optique on utilisera le paramètre de constringence pour caractériser la dispersivité d'un verre.

Identiquement le grandissement est aussi dépendant de la longueur d'onde puisque :

\dfrac{1}{f'(\lambda)}=\dfrac{1}{\overline {OA'}}-\dfrac{1}{\overline {OA}}

\dfrac{1}{f'(\lambda)}=\dfrac{1}{\overline {OA'}}\left(1-\dfrac{\overline {OA'}}{\overline {OA}}\right)=\dfrac{1}{\overline {OA'}}(1-\gamma)

\gamma (\lambda)=1-\dfrac{\overline {OA'}}{f'(\lambda)}

Ce qui implique que la focale est inversement proportionnelle à la longueur d'onde (f'ROUGE < f'BLEU) et le grandissement est inversement proportionnel à la longueur d'onde (γROUGE < γBLEU). Ceci sépare donc les aberrations chromatiques en deux catégories, le chromatisme axial et le chromatisme latéral.

Correction[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. D'après Norme MIL-PRF-13830 Section 3.5 et MIL-O-1383, 1954, Avec masque de référence C7641866 révision L, de 1980
  2. D'après Norme ISO 10110-3:199, 1996 et Norme ISO 10110-5:2007, 2007
  3. (1856), 289–332; “Über den Einfluss der Theorie der Fehler, mit welchen die durch optische Instrumente gesehenen Bilder behaftet sind, und über die mathematischen Bedingungen ihrer Authebung,” in Abhandlungen der naturwissenschaftlich-technischen Commission der Bayerischen Akademie der Wissenschaften
  4. An Introduction to Hamiltonian Optics, H.A. Buchdahl, Dover Classics of Science & Mathematics, 17 août 1997
  5. "l’étude des influences conjuguées des aberrations et de la diffraction sur l’image d’un point", soutenue le 13 juin 1947
  6. Daumas, Maurice, Scientific Instruments of the Seventeenth and Eighteenth Centuries and Their Makers, Portman Books, London 1989 ISBN 978-0-7134-0727-3
  7. (en) Fred Watson, Stargazer: the life and times of the telescope, Crows Nest, Allen & Unwin,‎ 2007, poche (ISBN 978-1-74175-383-7, OCLC 225464622, lire en ligne), p. 140–55
  8. Fred Hoyle, Astronomy; A history of man's investigation of the universe, Rathbone Books, 1962, LC 62-14108
  9. (en) « Sphaera—Peter Dollond answers Jesse Ramsden » (consulté le July 31, 2009) A review of the events of the invention of the achromatic doublet with emphasis on the roles of Hall, Bass, John Dollond and others.
  10. (en) Terje Dokland et Mary Mah-Lee Ng, Techniques in microscopy for biomedical applications, New Jersey, World Scientific,‎ 2006, poche (ISBN 978-981-256-434-4, lire en ligne), p. 23
  11. Kidger, M.J. (2002) Fundamental Optical Design. SPIE Press, Bellingham, WA, pp. 174ff
  12. F. Ferlin, « La course aux lunettes achromatiques », Les Génies de la Science, mai-juillet 2009, no 39, p. 82-89

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]