Aplanétisme

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L’aplanétisme est une propriété des systèmes optiques dioptriques, catoptriques et catadioptriques capables, pour un objet étendu perpendiculaire à l'axe optique, de former une image perpendiculaire à l'axe optique. Plus précisément, un système optique est aplanétique pour un couple de points et [1] ː

  • s'il est stigmatique pour un couple de points conjugués et situés sur l'axe optique ;
  • et si l'image d'un point situé au voisinage de et dans le même plan perpendiculaire à l'axe optique, se forme dans le même plan perpendiculaire à l'axe optique que  ;
  • et s'il est stigmatique pour le couple de points conjugués et .

L'aplanétisme peut s'exprimer mathématiquement par la condition des sinus d'Abbe ː , que doit remplir un système optique stigmatique pour être aplanétique.

Historique[modifier | modifier le code]

Le terme d'aplanétisme a été emprunté à l'anglais aplanatic et est employé depuis au moins 1794. « Aplanatic » et « aplanétisme » dérivent du grec ancien άπλάνητος utilisé depuis le Ier siècle et voulant dire « qui n'erre pas », « qui ne trompe pas »[2].

La première approche mathématique des achromats fut effectuée en 1760 par Samuel Klingenstierna ː à cette époque ils étaient appelés lentilles aplanétiques[3].

Ernst Abbe nomme aplanétique tout objectif dénué d'aberration sphérique.

Expression mathématique de l'aplanétisme[modifier | modifier le code]

Système optique aplanétique ː présentation des notations

et sont les indices de réfraction en amont et en aval du système optique.

Le système optique est supposé stigmatique pour le couple de points conjugués et . Il en résulte que que le chemin optique est constant quel que soit le rayon qui traverse le système optique.

De même, le système optique est stigmatique pour le couple de points conjugués et de sorte que chemin optique est lui aussi constant. Par conséquent, la différence est constante.

En considérant maintenant le point au voisinage de et situé dans un plan perpendiculaire à l'axe optique passant par . Les deux points étant très proches l'un de l'autre, on se permet d'écrire que les deux rayons (provenant de et de ) au point émergent par un même point . et sont les angles orientés entre l'axe optique et les rayons respectivement incident et émergent. La différence des chemins optiques peut alors s'écrire[1] ː

.

En faisant l'approximation et ː

..

En étudiant le cas particulier , on peut écrire que et en déduire la relation nommée condition des sinus d'Abbe ː

.

En utilisant le grandissement transversal , on peut également écrire cette relation sous la forme[1] ː

.

Une autre condition peut en être déduite, la condition d'Herschell, qui se note[4] , concerne les objets étendus sur l'axe optique en lien avec le grandissement longitudinal ; est un écart infinitésimal de l'objet et un écart infinitésimal de l'image sur l'axe optique[5],[6].

D'une part la relation des sinus d'Abbe mène à . D'autre part la relation d'Hershell mène à . Ces deux relations ne sont compatibles que pour . Les seuls cas sont le centre du miroir sphérique et le miroir plan, on a donc incompatibilité des conditions d'Abbe et Herschell en général.

Aplanétisme approché[modifier | modifier le code]

Dans le cadre de l'approximation de Gauss, le stigmatisme est dit approché : en première approximation, chaque point objet d'un système centré possède un conjugué stigmatique. L'approximation de Gauss permet de considérer de la même manière l'aplanétisme comme approché[7].

On parle souvent de systèmes aplanétiques dès lors que l'aberration sphérique[2] et/ou la coma sont corrigées[8].

Propriétés et cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • Les points de Weierstrass sont rigoureusement stigmatiques et aplanétiques, propriétés utilisées dans les objectifs de microscope par exemple[1].
  • Le miroir plan est rigoureusement stigmatique et aplanétique.
  • Les dioptres sphériques sont aplanétiques pour le point image et objet confondus avec le centre de courbure.
  • De la même manière un miroir sphérique est aplanétique pour son centre et les points de sa surface
  • Un miroir parabolique quant à lui peut être stigmatique pour son foyer mais n'est pas aplanétique[1].
  • Dans un système aplanétique, en radiométrie, l'étendue géométrique d'un faisceau entrant est conservée[9].

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Bernard Balland, Optique géométrique : Imagerie et instruments, Presses polytechniques universitaires romandes, , 860 p. (ISBN 978-2-88074-689-6, lire en ligne)