Fonction de transfert optique

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Mire classique simple utilisée pour évaluer la FTM d'un système optique tel qu'un objectif.

La fonction de transfert optique, ou FTO, est une fonction complexe qui permet de relier l'intensité lumineuse de l'espace objet à l'intensité lumineuse de l'espace image pour un système optique. La fonction de transfert optique est souvent considérée uniquement dans les plans objets et images conjugués mais est tridimensionnelle dans le cas général. Cette fonction complexe est décomposée en une amplitude dite fonction de transfert de modulation et une phase dite fonction de transfert de phase.

  • La fonction de transfert de modulation, ou FTM, est une fonction qui permet de caractériser la capacité d'un système à transmettre les différentes fréquences d'un signal. Elle est principalement utilisée en optique[1] mais des notions similaires existent en électronique ou en acoustique. La notion de fonction de transfert de modulation est utilisée pour évaluer la qualité d'un système optique en photographie et cinématographie.
  • La fonction de transfert de phase caractérise les déphasages introduits par le système optique. Elle intervient surtout en champ proche, dans l'hypothèse d'une diffraction de Fresnel[2].

La notion de fonction de transfert optique possède des analogues dans d'autres domaines de la physique, notamment en électronique et en acoustique.

Théorie[modifier | modifier le code]

En optique, la fonction de transfert optique permet de modéliser l'influence d'un système optique sur la distribution de l'énergie lumineuse dans l'espace image. Cette notion est principalement utilisée pour les systèmes optiques imageant pour caractériser la qualité d'un système optique (e.g. un objectif, microscope ou télescope). La partie réelle de la fonction de transfert optique, dite fonction de transfert de modulation décrit le taux de contraste de l'image obtenue en fonction de la fréquence spatiale.

Définition[modifier | modifier le code]

Notations utilisées pour définir la fonction de transfert optique

En lumière incohérente, un système optique imageant réalise une image d'un objet . L'impact du système optique sur l'image peut être modélisée par un produit de convolution par une fonction selon

Cette relation peut être mise en équation dans le domaine de Fourier :

La fonction complexe est appelée Fonction de Transfert Optique[3] et est définie dans la norme ISO 15529[4]. La FTO correspond à la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle du système.

Cette fonction peut être réécrite pour faire intervenir un terme d'amplitude et un terme de phase selon : [5], avec la Fonction de Transfert Optique, la Fonction de Transfert de Modulation et la Fonction de Transfert de Phase.

Extension de la FTM au cas tridimensionnel[modifier | modifier le code]

La réponse impulsionnelle d'un système optique, c'est-à-dire l'image par un système d'un point objet, est une distribution d'intensité à trois dimensions présentant dans le cas idéal un maximum dans le plan focal[6]. Il est donc possible de définir une fonction de transfert optique tridimensionnelle et la fonction de transfert de modulation associée[7].

Fréquence de coupure et FTM[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Fréquence de Nyquist.

Du fait de la diffraction, tout système optique possède une fréquence de coupure liée à la dimension de sa pupille. Cette fréquence de coupure est l'analogue optique de la fréquence de Nyquist.

  • Dans l'espace image elle est définie par , avec la longueur d'onde et le nombre d'ouverture de l'objectif.
  • Dans l'espace objet elle est définie par , avec la longueur d'onde, le diamètre de la pupille d'entrée et la distance entre la pupille d'entrée et la scène observée.

Expression analytique pour un objectif parfait[modifier | modifier le code]

A condition d'utiliser la fréquence normalisée définie par : , l'expression analytique de la fonction de transfert de modulation d'un objectif parfait de pupille circulaire est donnée par :

[8]

Cette fonction est parfois nommée Tente Canadienne en raison de sa forme caractéristique.

Dans le cas général, la fonction de transfert de modulation idéale d'un système optique peut être obtenue par autocorrélation de la fonction représentant la pupille.


Illustration de la fonction de transfert optique et sa relation à la qualité de l'image. La courbe (a) montre la fonction de transfert d'un système avec une bonne mise au point et la courbe (d) celle d'un système mal mis au point. La fonction de transfert de ces systèmes étant réelle et positive, la fonction de transfert optique est par définition la fonction de transfert de modulation. Images d'un point source et d'une cible sur les figures (b,e) et (c,f) respectivement.

Test de FTM[modifier | modifier le code]

Méthodes utilisant des mires[modifier | modifier le code]

Mire classique simple utilisée pour évaluer la FTM d'un système optique tel qu'un objectif.

Cette fonction peut être mesurée à l'aide de mires constituées de bandes noires et blanches alternant à différentes fréquences spatiales[9]. Pour chaque fréquence spatiale, le contraste est mesuré sur l'image et divisé par le contraste de la mire.

[10], avec et les luminances minimales et maximales mesurées sur l'image de la mire.

Ce rapport est la valeur de la fonction de transfert de modulation pour cette fréquence spatiale.

Méthodes utilisant la réponse percusionnelle[modifier | modifier le code]

Méthodes de mesure directe[modifier | modifier le code]

Si le détecteur a une résolution suffisante et qu'une source lumineuse de taille suffisamment petite peut être utilisée, il est possible de mesurer directement la réponse percusionnelle du système optique[11]. La fonction d'étalement du point peut être reliée à la fonction de transfert de modulation par une transformation de Fourier.

Alternativement, en l'absence de détecteur, une mesure de la baisse de l'intensité lumineuse en présence d'un couteau de Foucault permet de calculer la fonction de transfert de modulation. Cette méthode est souvent utilisée dans les domaines où les capteurs ne disposent pas d'une résolution suffisante, comme pour l'infrarouge.

Méthodes utilisant des analyseurs de front d'onde[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Analyseur de front d'onde.

L'utilisation d'un analyseur de front d'onde permet d'analyser la déformation du front d'onde par un système optique. En particulier, de tels systèmes permettent de mesurer la réponse impulsionnelle d'un système optique. La fonction de transfert optique étant la transformée de Fourier de cette réponse impulsionnelle, il est ainsi possible d'obtenir la fonction de transfert de modulation[12],[13].

Interprétation en analyse de système optique[modifier | modifier le code]

Système limité par la diffraction[modifier | modifier le code]

Un système est dit limité par la diffraction si les aberrations qui l'affectent ont une fonction d'étalement du point plus petite que la tache d'Airy créée par la diffraction.

Dans le cas d'un système limité par la diffraction, le système optique peut être assimilé à un système idéal et la fonction de transfert de modulation est donnée par : .

La fréquence de coupure du système imageant est donnée par : .

Les fréquences maximales enregistrées par le système imageant sont soit limitées par le système optique par effet de diffraction, soit par le capteur à cause de la taille des pixels par exemple[14].

Système non limité par la diffraction[modifier | modifier le code]

Un système non limité par la diffraction souffre d'aberrations optiques. L'effet de ces aberrations est de réduire le taux de contraste pour certaines des fréquences spatiales, ce qui se traduit par une baisse de la FTM par rapport au cas limité par la diffraction[15].

Cette baisse du contraste peut s'accompagner d'une diminution de la fréquence de coupure du système optique, information indispensable permettant de déterminer la capacité d'un système à transmettre les détails fins d'une image[16].

Les aberrations optiques qui dégradent la performance des systèmes ne sont pas toutes à symétrie de rotation. Dans le cas contraire, la fonction de transfert optique n'est pas à symétrie de rotation et en particulier la FTM varie suivant l'orientation des fréquences spatiales observées.

Utilisation en Photographie et Cinéma[modifier | modifier le code]

Courbe de densité de la mire objet (Ao) et image (A), une amplitude positive indique une bande blanche, une amplitude négative indique une bande noire. La courbe du rapport entre les densités de la mire objet et de son image en-dessous montre la dégradation du contraste avec l'augmentation de la fréquence spatiale de la mire.
Courbes de FTM schématiques. La courbe A est celle d'un objectif capable de restituer un contraste élevé malgré un pouvoir séparateur moyen. La courbe B caractérise au contraire un objectif dont le pouvoir séparateur est très bon mais qui donnera cependant à l'usage des images beaucoup plus « molles » que le premier.

Dans le cas d'un système photographique ou cinématographique, la fonction de transfert de modulation du système optique permet de caractériser et de comprendre les qualités et défaut d'un objectif.

Lien entre la FTM et les aberrations optiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Aberration (optique).

Les diverses aberrations monochromatiques sont responsables de l'allure des courbes de FTM, en particulier :

  • l'aberration sphérique
  • l'aberration de coma
  • l'astigmatisme
  • la courbure de champ
  • le trèfle
  • les réflexions internes au système optique peuvent réduire la FTM par diminution du contraste.

Les aberrations suivantes n'ont pas d'influence sur la FTM :

Facteurs influençant la FTM[modifier | modifier le code]

La FTM d'un système optique dépend de son utilisation et peut évoluer en fonction des paramètres suivants[17] :

  • L'ouverture numérique du système
  • La longueur d'onde utilisée
  • La conjugaison entre l'objet et l'image : la distance à l'objet peut changer les aberrations optiques présentent dans le système optique et modifier la FTM associée à celui-ci.
  • Plus rarement, la polarisation de la lumière incidente.

Courbe de FTM en photographie[modifier | modifier le code]

Les courbes de FTM caractérisant un objectif photographique comportent au moins deux courbes[18],[19]:

  • La courbe supérieure correspond à l'évolution du contraste d'une fréquence spatiale faible (souvent 10 cycles par millimètre) en fonction de la distance au centre de l'image. Cette courbe donne une indication du contraste de l'image.
  • La courbe inférieure correspond à l'évolution du contraste d'une fréquence spatiale plus élevée (souvent 30 cycles par millimètre) en fonction de la distance au centre de l'image. Cette courbe donne une indication de la résolution de l'image.

Ces courbes sont dédoublées en fonction de l'orientation sagittale ou tangentiel, permettant de rendre compte d'aberrations n'ayant pas de symétrie de rotation[20].

Notions analogues à la fonction de transfert optique dans d'autres sciences[modifier | modifier le code]

En électronique[modifier | modifier le code]

En électronique, la notion de fonction de transfert d'un circuit électrique est en particulier utilisée pour analyser la réponse en fréquence du système, qui correspond au gain du système en fonction de la fréquence du signal électrique en entrée. Il est possible de faire l'analogie entre fonction de transfert optique et fonction de transfert d'une part et entre fonction de transfert de modulation et réponse en fréquence d'autre part.

En acoustique[modifier | modifier le code]

En acoustique, la fonction de transfert de modulation est utilisée pour évaluer comment les modulations en amplitude du signal sont affectées au cours de la diffusion d'un signal. La fonction de transfert de modulation pour un signal à bande étroite est calculée par le rapport des contrastes (signal modifié - signal d'origine) pour des modulations d'amplitude allant de 1 à 12 Hz. La FTM est à la base de plusieurs mesures d'intelligibilité de la parole et en particulier du Speech Transmission Index (STI)[21].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Modulation Transfer Function in Optical and Electro-optical Systems sur Google Livres - Glenn D. Boreman
  2. Le champ proche optique: Théorie et applications sur Google Livres - Daniel Courjon et Claudine Bainier (2001)
  3. Thèse : Analyse et modélisation de la fonction de transfert de modulation des capteurs d'images à pixels actifs CMOS - Magali Estribeau (2004)
  4. Norme ISO 15529 révision 2010
  5. Modulation Transfert Function (en) - Nikon : Microscopy
  6. Principles of Optics - M. Born et E. Wolf, section 8.8 : The three-dimensional light distribution near focus, Pergamon Press (1970)
  7. Fast vectorial calculation of the volumetric focused field distribution by using a three-dimensional Fourier transform - J. Lin, O. G. Rodríguez-Herrera, F. Kenny, D. Lara, and J. C. Dainty, Optics Express (2012)
  8. Critères de performance en imagerie optique : approche théorique et expérimentale - D.E.A. Optique et traitement des images, Fabien Lemarchand (1995)
  9. Introduction to Optical Testing sur Google Livres - Joseph M. Geary
  10. Documentation MTF - Imatest
  11. Mesure de la Fonction de Transfert de Modulation d’un système optique - Travaux Pratiques, Institut d'Optique
  12. Capteur de front d'onde HASO - Imagine Optic
  13. Analyseur de front d'onde Shack-Hartmann - OptoPhase
  14. Éléments de Conception Optique (lire en ligne), p. 8
  15. Formation, Capture et Restitution des images p. 78 - Jean-Louis Meyzonnette, Ecole Supérieure d’Optique
  16. (en) Glenn D. Boreman, Modulation Transfer Function in Optical and Electro-optical Systems, SPIE Press, (ISBN 978-0-8194-4143-0, lire en ligne), p. 16
  17. Introduction to Modulation Transfer Function - Edmund Optics (en)
  18. The Interpretation of Optical Data Sheets - Carl Zeiss
  19. Comprendre la fonction de transfert de modulation - FocusNumérique
  20. Comment lire les courbes de MTF - Sigma France
  21. Introducing speech intelligibility nti-audio.com