Groupe d'homotopie

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition[modifier | modifier le code]

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et x_0 un point de X. Soit \mathcal{B}^i la boule unité de dimension i de l'espace euclidien \mathbb{R}^i. Son bord \partial \mathcal{B}^i = \mathcal{S}^{i-1} est la sphère unité de dimension i-1.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur \pi_i(X,x_0) est l'ensemble des classes d'homotopie relative à \mathcal{S}^{i-1} d'applications continues  f : \mathcal{B}^i\to X telle que : f(\mathcal{S}^{i-1}) = \{x_0\}.

Un élément de \pi_i(X,x_0) est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la (i-1)-sphère vers le point de référence x_0\in X, la fonction étant définie modulo homotopie relative à \mathcal{S}^{i-1}.

Deuxième définition

En identifiant le bord du disque à un point s_0, on obtient une sphère \mathbb{S}^i et chaque élément de \pi_i(X,x_0) se définit par les classes d'homotopie des applications \mathbb{S}^i\to X par lesquelles le point base s_0 de la sphère se transforme en x_0. On peut dire que les éléments du groupe \pi_i(X,x_0) sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications \mathbb{S}^i\to X pour lesquelles on a : s_0\mapsto x_0.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie[modifier | modifier le code]

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque \mathbb{D}^i avec le cube \mathbb{I}^i=[0; 1]^i de dimension i dans \mathbb{R}^i.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube f,g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0) est l'application f+g :  (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0) définie par la formule :

(f + g)(t_1, t_2,\ldots, t_n) = f(2t_1, t_2, \ldots, t_n) pour t_1\in [0 ; {1\over 2}]

et

(f + g)(t_1, t_2, \ldots, t_n) = g(2t_1-1, t_2, \ldots, t_n) pour t_1\in [{1\over2} ; 1].

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i\geqslant 2.

On définit donc un groupe commutatif si i\geqslant 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).

On obtient le groupe fondamental si i=1.

Propriétés et outils[modifier | modifier le code]

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple[modifier | modifier le code]

On a une généralisation des groupes d'homotopie.

Soient X un espace topologique, AX et x un point de X.

Soient Ir = [0; 1]r et Jr = (∂Ir-1 × I) ∪ (Ir-1 × {1}) = ∂Ir \ int(Ir-1 × {0}).

Le r-ième groupe d'homotopie relatif \pi_r(X,A,x) est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues  f : (I^r , \partial{I^r}, J^r) \to (X,A,x) telles que : f(I^r) \subset X, f(\partial{I^r}) \subset A, f(J^r) = x, avec des homotopies de même forme.

  • \pi_r(X,x,x) = \pi_r(X,x) donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
  • De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.

\cdots \rightarrow \pi_n(A,x) \xrightarrow{i_*} \pi_n(X,x) \xrightarrow{j_*} \pi_{n}(X,A,x) \xrightarrow{d} \pi_{n-1}(A,x) \rightarrow \cdots

i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de (I^r , \partial{I^r}, J^r) à I^{r-1}.

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration[modifier | modifier le code]

Soit p : EB une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :

\cdots \to \pi_n(F) \to \pi_n(E) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \cdots \to \pi_1(F) \to \pi_1(E) \to \pi_1(B) \to \pi_0(F).

Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz[modifier | modifier le code]

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés \pi_i(X,A,x_0) et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés H_i(X,A). Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel h_n : \pi_n(X,A,*)\to H_n(X,A).

Si A\sub X sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour n\geq 2 alors :

  • d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que H_i(X,A)=0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments \omega(\beta)-\beta avec \omega\in\pi_1(A,*) et \beta\in\pi_n(X,A,*)=1 ; en particulier, si \pi_1(A,*)=1, alors h_n est un isomorphisme ;
  • d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, n\geq 2, on a H_i(X,*)=0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n=1, voir Théorème d'Hurewicz

Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Théorème de Whitehead et CW-complexe.

Théorèmes de périodicité de Bott[modifier | modifier le code]

Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction[modifier | modifier le code]

Un espace est dit asphérique ou un K(\pi,1) si les groupes d'homotopies sont triviaux sauf \pi_1.

Méthodes de calcul[modifier | modifier le code]

Contrairement au groupe fondamental (i=1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i\geqslant 2 (Il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupes d'homotopie des sphères.

Cas des groupes de Lie[modifier | modifier le code]

Le groupe fondamental est commutatif. L'action du \pi_1 sur les \pi_i est triviale.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]