Groupe d'homotopie

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition[modifier | modifier le code]

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et x_0 un point de X. Soit \mathcal{B}^i la boule unité de dimension i de l'espace euclidien \mathbb{R}^i. Son bord \partial \mathcal{B}^i = \mathcal{S}^{i-1} est la sphère unité de dimension i-1.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur \pi_i(X,x_0) est l'ensemble des classes d'homotopie relative à \mathcal{S}^{i-1} d'applications continues  f : \mathcal{B}^i\to X telle que : f(\mathcal{S}^{i-1}) = \{x_0\}.

Un élément de \pi_i(X,x_0) est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la (i-1)-sphère vers le point de référence x_0\in X, la fonction étant définie modulo homotopie relative à \mathcal{S}^{i-1}.

Deuxième définition

En identifiant le bord du disque à un point s_0, on obtient une sphère \mathbb{S}^i et chaque élément de \pi_i(X,x_0) se définit par les classes d'homotopie des applications \mathbb{S}^i\to X par lesquelles le point base s_0 de la sphère se transforme en x_0. On peut dire que les éléments du groupe \pi_i(X,x_0) sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications \mathbb{S}^i\to X pour lesquelles on a : s_0\mapsto x_0.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie[modifier | modifier le code]

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque \mathbb{D}^i avec le cube \mathbb{I}^i=[0,1]^i de dimension i dans ℝi.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube f,g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0) est l'application f+g :  (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0) définie par la formule :

(f + g)(t_1, t_2,\ldots, t_n) = f(2t_1, t_2, \ldots, t_n)\text{ pour }t_1\in\left[0,1/2\right]

et

(f + g)(t_1, t_2, \ldots, t_n) = g(2t_1-1, t_2, \ldots, t_n)\text{ pour }t_1\in\left[1/2,1\right].

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.

On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).

On obtient le groupe fondamental si i = 1.

Propriétés et outils[modifier | modifier le code]

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple[modifier | modifier le code]

On a une généralisation des groupes d'homotopie.

Soient X un espace topologique, AX et x un point de X.

Soient Ir = [0, 1]r et Jr = (∂Ir-1 × I) ∪ (Ir-1 × {1}) = ∂Ir \ int(Ir-1 × {0}).

Le r-ième groupe d'homotopie relatif \pi_r(X,A,x) est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues  f : (I^r , \partial{I^r}, J^r) \to (X,A,x) telles que : f(I^r) \subset X, f(\partial{I^r}) \subset A, f(J^r) = x, avec des homotopies de même forme.

  • \pi_r(X,x,x) = \pi_r(X,x) donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
  • De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
  • On a une suite exacte longue :
    \cdots \rightarrow \pi_n(A,x) \xrightarrow{i_*} \pi_n(X,x) \xrightarrow{j_*} \pi_{n}(X,A,x) \xrightarrow{d} \pi_{n-1}(A,x) \rightarrow \cdots
    i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de (I^r , \partial{I^r}, J^r) à I^{r-1}.

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration[modifier | modifier le code]

Soit p : EB une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :

\cdots \to \pi_n(F) \to \pi_n(E) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \cdots \to \pi_1(F) \to \pi_1(E) \to \pi_1(B) \to \pi_0(F).

Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz[modifier | modifier le code]

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés \pi_i(X,A,x_0) et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés H_i(X,A). Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel h_n : \pi_n(X,A,*)\to H_n(X,A).

Si A\sub X sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour n\geq 2 alors :

  • d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que H_i(X,A)=0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments \omega(\beta)-\beta avec \omega\in\pi_1(A,*) et \beta\in\pi_n(X,A,*)=1 ; en particulier, si \pi_1(A,*)=1, alors h_n est un isomorphisme ;
  • d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, n\geq 2, on a H_i(X,*)=0 (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».

Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Théorème de Whitehead et CW-complexe.

Théorèmes de périodicité de Bott[modifier | modifier le code]

Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction[modifier | modifier le code]

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π1.

Méthodes de calcul[modifier | modifier le code]

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupes d'homotopie des sphères.

Cas des groupes de Lie[modifier | modifier le code]

Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace (en), est commutatif et l'action du π1 sur les πi est triviale.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]