Groupe d'homotopie

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

Définition mathématique

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et $x_0$ un point de X. Soit $\mathcal{B}^i$ la boule unité de dimension i de l'espace euclidien $\mathbb{R}^i$. Son bord $\partial \mathcal{B}^i = \mathcal{S}^{i-1}$ est la sphère unité de dimension $i-1$.

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur $\pi_i(X,x_0)$ est l'ensemble des classes d'homotopie relative à $\mathcal{S}^{i-1}$ d'applications continues $f : \mathcal{B}^i\to X$ telle que : $f(\mathcal{S}^{i-1}) = \{x_0\}$.

Un élément de $\pi_i(X,x_0)$ est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la $(i-1)$-sphère vers le point de référence $x_0\in X$, la fonction étant définie modulo homotopie relative à $\mathcal{S}^{i-1}$.

Deuxième définition

En identifiant le bord du disque à un point $s_0$, on obtient une sphère $\mathbb{S}^i$ et chaque élément de $\pi_i(X,x_0)$ se définit par les classes d'homotopie des applications $\mathbb{S}^i\to X$ par lesquelles le point base $s_0$ de la sphère se transforme en $x_0$. On peut dire que les éléments du groupe $\pi_i(X,x_0)$ sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications $\mathbb{S}^i\to X$ pour lesquelles on a : $s_0\mapsto x_0$.

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier le disque $\mathbb{D}^i$ avec le cube $\mathbb{I}^i=[0; 1]^i$ de dimension i dans $\mathbb{R}^i$.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube $f,g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0)$ est l'application $f+g : (\mathbb{I}^i,\mathbb{S}^{i-1})\to (M,x_0)$ définie par la formule :

$(f + g)(t_1, t_2,\ldots, t_i) = f(2t_1, t_2, \ldots, t_n)$ pour $t_1\in [0 ; {1\over 2}]$

et

($f + g)(t_1, t_2, \ldots, t_n) = g(2t_1-1, t_2, \ldots, t_n$) pour $t_1\in [{1\over2} ; 1]$.

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si $i\geqslant 2$.

On définit donc un groupe commutatif si $i\geqslant 2$.

On obtient le groupe fondamental si $i=1$

Propriétés et outils

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration et fonctorialité

• V. suite exacte et fibrations

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Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple

• V. suite exacte

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Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : Les groupes d'homotopie (relatifs) notés $\pi_i(X,A,x_0)$ et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés $H_i(X,A)$. Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel $h_n\ :\ \pi_n(X,A,*)\to H_n(X,A)$.

Si $A\sub X$ sont connexes par arcs et si le couple (X,A) est n-1-connexe, $n\geq 2$ alors :

• d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que $H_i(X,A)=0$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments $\omega(\beta)-\beta$ avec $\omega\in\pi_1(A,*)$ et $\beta\in\pi_n(X,A,*)=1$ ; en particulier, si $\pi_1(A,*)=1$, alors $h_n$ est un isomorphisme ;
• d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, $n\geq 2$, on a $H_i(X,*)=0$ (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n=1, voir Théorème d'Hurewicz

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Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)

Articles détaillés : Théorème de Whitehead et CW-complexe.

Théorèmes de périodicité de Bott

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Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction

Un espace est dit asphérique ou un $K(\pi,1)$ si les groupes d'homotopies sont triviaux sauf le $\pi_1$

Méthodes de calcul

Contrairement au groupe fondamental (i=1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que $i\geqslant 2$ (Il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphères

Article détaillé : Groupes d'homotopie des sphères.

Cas des groupes de Lie

Le groupe fondamental est commutatif. L'action du $\pi_1$ sur les $\pi_i$ est triviale.

Bibliographie en français

• Boris Doubrovine, Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications [détail des éditions], vol. 2 et 3
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, Jacques Gabais, vol. 9