Théorème de van Kampen

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En topologie algébrique, le théorème de van Kampen[1], également appelé théorème de Seifert-van Kampen, est un résultat permettant de calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui se décompose en deux espaces plus simples dont les groupes fondamentaux respectifs sont déjà connus.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soient U1, U2 des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, alors le groupoïde fondamental de U1U2 est égal à la somme amalgamée[2],[3] de ceux de U1 et U2 au-dessus de celui de leur intersection :

\pi(U_1\cup U_2)=\pi(U_1)*_{\pi(U_1\cap U_2)}\pi(U_2),

et de même pour les groupes fondamentaux[4],[5] en un point x commun à ces deux ouverts connexes:

\pi_1(U_1\cup U_2, x)=\pi_1(U_1,x)\underset{\pi_1(U_1 \cap U_2, x)}{\bigstar}\pi_1(U_2,x).

Un cas particulier essentiel est celui où U1U2 est simplement connexe : π1(U1U2,x) est alors le produit libre π1(U1,x)∗π2(U2,x) des groupes fondamentaux de U1 et U2.

Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est ℤ∗ℤ, c'est-à-dire le groupe libre sur deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.

Cas de deux sous-espaces fermés[modifier | modifier le code]

Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si U1, U2 et U1U2 sont des sous-espaces fermés connexes par arcs[6].

Soient V1, V2 des sous-espaces fermés connexes par arcs qui admettent des revêtements simplement connexes, ainsi que leur intersection, et soit x un point commun à ces deux fermés. Alors le groupe fondamental de V1V2 en x est égal à la somme amalgamée des groupes fondamentaux de V1 et V2 en x au-dessus de celui de leur intersection :

\pi_1(V_1\cup V_2,x)=\pi_1(V_1,x) *_{\pi_1(V_1\cap V_2,x)}\pi_1(V_2,x).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Egbert van Kampen, « On the connection between the fundamental groups of some related spaces », American Journal of Mathematics, vol. 55,‎ 1933, p. 261-267
  2. Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, A. Colin,‎ 1972
  3. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, p. I.80-84
  4. Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions], 2e éd., p. 252 (la somme amalgamée était appelée produit libre amalgamé dans le tome 2 de la première édition).
  5. * André Gramain, Topologie des Surfaces, PUF, 1971, p. 28-30.
  6. R. et A. Douady, tome 2, qui suppose que les espaces admettent un revêtement universel pointé.