Théorème de van Kampen

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En topologie algébrique, le théorème de van Kampen (en), également appelé théorème de Seifert (en)-van Kampen, est un résultat permettant de calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui se décompose en deux espaces plus simples dont les groupes fondamentaux sont déjà connus.

Énoncé

Soient U₁, U₂ des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, alors le groupoïde fondamental de U₁∪U₂ est égal à la somme amalgamée de ceux de U₁ et U₂ au-dessus de celui de leur intersection :

$\pi(U_1\cup U_2)=\pi(U_1)*_{\pi(U_1\cap U_2)}\pi(U_2),$

et de même pour les groupes fondamentaux en un point x commun à ces deux ouverts connexes:

$\pi_1(U_1\cup U_2, x)=\pi_1(U_1,x)\underset{\pi_1(U_1 \cap U_2, x)}{\bigstar}\pi_1(U_2,x).$

Un cas particulier essentiel est celui où U₁∩U₂ est simplement connexe : π₁(U₁∪U₂,x) est alors le produit libre π₁(U₁,x)∗π₂(U₂,x) des groupes fondamentaux de U₁ et U₂.

Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est ℤ∗ℤ, c'est-à-dire le groupe libre sur deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.

Cas de deux sous-espaces fermés

Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si U₁, U₂ et U₁∩U₂ sont des sous-espaces fermés connexes par arcs.

Soient V₁, V₂ des sous-espaces fermés connexes par arcs qui admettent des revêtements simplement connexes, ainsi que leur intersection, et soit x un point commun à ces deux fermés. Alors le groupe fondamental de V₁∪V₂ en x est égal à la somme amalgamée des groupes fondamentaux de V₁ et V₂ en x au-dessus de celui de leur intersection :

$\pi_1(V_1\cup V_2,x)=\pi_1(V_1,x) *_{\pi_1(V_1\cap V_2,x)}\pi_1(V_2,x).$

Notes et références

Bibliographie

• Michel Zisman, Topologie algébrique élémentaire, A. Colin, 1972 
• Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions] 
• André Gramain, Topologie des Surfaces, PUF, 1971