Tour de Postnikov

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En théorie de l'homotopie, une branche de la topologie algébrique, une tour de Postnikov (ou système de Postnikov)[1] est un objet permettant de reconstruire un espace topologique à partir de ses groupes d'homotopie.

Définition[modifier | modifier le code]

Une tour de Postnikov pour un espace X connexe par arcs est[2] un morphisme de X vers une suite d'espaces et d'applications continues, …→ Xn →…→ X1X0, tel que

  • chaque application XXn induit des isomorphismes des πk pour kn ;
  • πk(Xn) = 0 pour k > n.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Tout CW-complexe connexe possède une telle « tour »[2].

On peut de proche en proche remplacer chaque application XnXn – 1 par une fibration, dont la fibre est un espace d'Eilenberg-MacLane Kn(X), n), d'après sa longue suite exacte d'homotopie[2]. L'application de X dans la limite projective des Xn est alors une équivalence faible d'homotopie.

Le CW-complexe connexe X possède une tour de Postnikov de fibrations principales si et seulement si l'action de π1(X) sur les πn(X) (n > 1) est triviale.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Mikhail M. Postnikov, « Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants », Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 76,‎ 1951, p. 359-362
  2. a, b et c (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP,‎ 2001 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 410-413