Théorème de Whitehead

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En théorie de l'homotopie (une branche des mathématiques et plus précisément de la topologie algébrique), le théorème de Whitehead établit que si une application continue f entre deux espaces topologiques connexes X et Y induit un isomorphisme sur tous leurs groupes d'homotopie, alors f est une équivalence d'homotopie dès que X et Y ont le type d'homotopie de CW-complexes. Ce résultat a été démontré par J. H. C. Whitehead dans deux articles de référence de 1949 et justifie l'introduction de la notion de CW-complexes faite dans ces articles[1].

Équivalence faible d'homotopie[modifier | modifier le code]

Soient X et Y deux espaces topologiques, de points de bases respectifs x et y, et

f:X\to Y

une application continue telle que f(x)=y. On considère les morphismes induits pour n ≥ 0,

f_n:\pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,y),

\pi_n désigne le ne groupe d'homotopie si n ≥ 1 et \pi_0 désigne l'ensemble des composantes connexes par arcs.

(f_n est donc un morphisme de groupes si n ≥ 1, et un morphisme d'ensembles pointés si n = 0.)

On dit que f est une équivalence faible d'homotopie si tous les f_n sont des isomorphismes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème[2] — Toute équivalence faible d'homotopie entre deux CW-complexes connexes est une équivalence d'homotopie.

D'après le théorème d'Hurewicz, tout quasi-isomorphisme entre deux CW-complexes simplement connexes est une équivalence faible d'homotopie, ce qui explique que le théorème de Whitehead soit parfois énoncé sous la forme[3] :

Tout quasi-isomorphisme entre deux CW-complexes simplement connexes est une équivalence d'homotopie.

Espaces ayant mêmes groupes d'homotopie mais pas même type d'homotopie[modifier | modifier le code]

Il ne suffit pas que les groupes d'homotopies de deux CW-complexes connexes X et Y soient isomorphes pour que X et Y soient homotopiquement équivalents : l'hypothèse que tous ces isomorphismes sont induits par une même application de X dans Y est indispensable.

Par exemple, pour m et n distincts > 1, Sm × Pn(ℝ) et Pm(ℝ) × Sn ont mêmes groupes d'homotopie (les mêmes que Sm× Sn, sauf ℤ2 pour le groupe fondamental) mais pas même type d'homotopie, puisque leurs groupes d'homologie diffèrent (d'après le théorème de Künneth). De même pour Pm(ℂ) × S2n + 1 et S2m + 1 × Pn(ℂ). On peut construire d'autres exemples en remarquant qu'un espace connexe X n'a généralement pas le même type d'homotopie que le produit d'espaces d'Eilenberg-MacLane X' = K1X, 1) × K2X, 2) × … : par exemple pour X = S2, H3(X') ≠ 0. On peut même facilement trouver des espaces non homotopiquement équivalents ayant à la fois même homotopie et même homologie[4].

L'hypothèse que X et Y sont des CW-complexes est également indispensable, même pour des sous-espaces de ℝn. Par exemple le « cercle polonais », courbe plane obtenue en ajoutant à la courbe sinus fermée du topologue un arc joignant (0, –1) à (1, sin 1), a tous ses groupes d'homotopie triviaux, mais n'est pas contractile. L'étude des généralisations possibles du théorème de Whitehead à des espaces plus généraux fait partie de la théorie des formes (en).

Généralisation aux catégories à modèles fermées[modifier | modifier le code]

Dans une catégorie à modèles fermée (en), toute équivalence faible entre objets fibrants-cofibrants est une équivalence d'homotopie.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Whitehead theorem » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) J. H. C. Whitehead, « Combinatorial homotopy », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 55,‎ 1949, p. 213-245 et 453-496, [I] et [II]
  2. (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, CUP,‎ 2001 (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne), p. 346, Theorem 4.5
  3. (en) Tammo tom Dieck (de), Algebraic Topology, EMS,‎ 2008 (ISBN 978-3-03719048-7, lire en ligne), p. 498
  4. (en) Spaces with same homotopy and homology groups that are not homotopy equivalent?, sur MathOverflow