Formule d'Euler-Maclaurin

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En mathématiques, la formule d'Euler-Maclaurin (appelée parfois formule sommatoire d'Euler) est une relation entre sommes discrètes et intégrales. Elle fut découverte indépendamment, aux alentours de 1735, par le mathématicien suisse Leonhard Euler (pour accélérer le calcul de limites de séries lentement convergentes) et par l'écossais Colin Maclaurin (pour calculer des valeurs approchées d'intégrales).

Introduction : comparaison entre série et intégrale[modifier | modifier le code]

Soit f une fonction infiniment dérivable sur [1; +∞[ et n un entier naturel non nul.

On veut obtenir un développement asymptotique de la somme \sum_{i=1}^n f(i)=f(1)+f(2)+\cdots+f(n) en la comparant à l'intégrale \int_1^n f(x)~{\rm d}x.

La formule d'Euler-Mac Laurin donne une expression de la différence f(1)+f(2)+\cdots+f(n)-\int_1^n f(x)~{\rm d}x en fonction des valeurs de la fonction et de ses dérivées aux extrémités 1 et n et d'un reste :

\sum_{i=1}^n f(i)-\int_1^n f(x)~{\rm d}x=\frac{f(1)+f(n)}2+\frac16\frac{f'(n)-f'(1)}{2!}-\frac1{30}\frac{f'''(n)-f'''(1)}{4!}+\cdots+b_{2k}\frac{f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(1)}{(2k)!}+R_{k,n}.

Les nombres \textstyle b_2= \frac16, \quad b_4= -\frac1{30},\quad b_6= \frac1{42},\quad b_8=-\frac1{30},\quad\ldots b_{2k}\; qui apparaissent dans la formule sont les nombres de Bernoulli.

La série obtenue n'est en général pas convergente mais on connaît plusieurs expressions du reste R_{k,n} de la formule qui permettent de majorer l'erreur ainsi faite.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Formule d'Euler-MacLaurin[modifier | modifier le code]

Soient p et q deux entiers relatifs (p < q), f une fonction continue complexe définie sur [p, q]. L'énoncé qui suit exprime la somme

\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{i=p+1}^{q-1}f\left(i\right)=\frac{f(p)}2+f(p+1)+f(p+2)+\cdots+f(q-1)+\frac{f(q)}2.

Pour une fonction f 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), la formule d'Euler-Mac Laurin s'énonce ainsi :

\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{i=p+1}^{q-1}f\left(
i\right) =\int_p^q f(x)~{\rm d}x
+\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_k.

Les nombres b2j désignent les nombres de Bernoulli.

Formules sommatoires d'Euler-Maclaurin[modifier | modifier le code]

Pour une fonction complexe f 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), la formule d'Euler-Mac Laurin peut également s'écrire ainsi :

\sum_{i=p}^{q}f\left(
i\right) =\int_p^q f(x)~{\rm d}x+\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}
+\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)+R_k

Si on considère les nombres de Bernoulli d'indice impair : b_1=-\frac12 et b_{2j+1}=0 si j > 1, on peut énoncer la formule d'Euler-Maclaurin de la manière suivante[1] :

pour une fonction complexe f qui est r fois continûment dérivable (avec r > 0) :

\sum_{i=p}^{q-1}f\left(
i\right) =\int_p^q f(x)~{\rm d}x+\sum_{j=1}^r\frac{b_{j}}{j!}\left(f^{(j-1)}(q)-f^{(j-1)}(p)\right)+R'_r

On a R'_r=R_{[\frac{r}2]},\qquad R_0=R'_1\qquad \text{et} \qquad R_k=R'_{2k}=R'_{2k+1} si k > 0.

Une autre formulation équivalente donnée par Tenenbaum[2] est la suivante : pour une fonction complexe f qui est r + 1 fois continûment dérivable (avec r ≥ 0) :

\sum_{p<n\leqslant q}f\left(
n\right) =\int_p^q f(x)~{\rm d}x+\sum_{j=0}^r\frac{(-1)^{j+1}b_{j+1}}{(j+1)!}\left(f^{(j)}(q)-f^{(j)}(p)\right)+R'_{r+1}.

Le coefficient (-1)^{j+1} n'intervient dans la formule que pour j = 0. Son rôle est de remplacer le nombre de Bernoulli d'indice un, b_1=-\frac12, par b'_1=+\frac12.

Expressions du reste[modifier | modifier le code]

Avec les notations précédentes, l'expression du reste R'_r pour une fonction complexe r fois continûment dérivable (avec r > 0) est la suivante[1] :

R'_r= \frac{(-1)^{r-1}}{r!}\int_p^q f^{(r)}(x) B_{r}(x-\lfloor x \rfloor)~{\rm d}x

La notation B_{r} désigne le r-ème polynôme de Bernoulli, et B_{r}(x-\lfloor x \rfloor) en est une version périodisée, de période 1, égale à B_r(x) si 0<x<1 (les polynômes et les nombres de Bernoulli sont reliés par les égalités \displaystyle b_{r}=B_{r}(0)=B_{r}(1) si r > 1). En particulier :

Si f est 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), le reste R_k s'exprime de la manière suivante :

 R_k = - {1 \over (2k)!}\int_p^q f^{(2k)}(x) B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor)~{\rm d}x.

Si f est 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste R_k s'exprime comme suit :

 R_k = {1 \over (2k+1)!}\int_p^q f^{(2k+1)}(x) {B_{2k+1}(x-\lfloor x \rfloor)}~{\rm d}x.

Si f est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), le reste peut s'écrire des manières suivantes[3],[4] :

\begin{align} R_k &=- {1 \over (2k+2)!}\int_p^q f^{(2k+2)}(x) (B_{2k+2}(x-\lfloor x \rfloor) -b_{2k+2})~{\rm d}x\\
&= {q-p \over (2k+2)!} b_{2k+2} f^{(2k+2)}(\xi),\qquad \text{ avec }\quad\xi\in\; ]p, q[.\end{align}

Si on considère les nombres de Bernoulli sans leur signe (on a b_{2k}=(-1)^{k-1}|b_{2k}|), la dernière formule s'écrit[5] : R_k= (-1)^k{q-p \over (2k+2)!} |b_{2k+2}| f^{(2k+2)}(\xi).

Remarque : le reste R_k est nul pour tout polynôme de degré au plus 2k + 1.

Signe et majorations du reste[modifier | modifier le code]

Si f est une fonction complexe 2k fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 1), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin en utilisant la majoration des polynômes de Bernoulli[6] : |B_{2k}(t)|\leqslant |b_{2k}| :

|R_k|\leqslant\frac{|b_{2k}|}{(2k)!}\int_p^q\left|f^{(2k)}(x)\right|dx.

L'inégalité, comme celles qui suivent, peut être réécrite en utilisant la formule due à Euler : \frac{|b_{2k}|}{(2k)!}=\frac{2}{(2\pi)^{2k}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac1{i^{2k}} =\frac{2}{(2\pi)^{2k}}\zeta(2k)\leqslant \frac{2\zeta(2)}{(2\pi)^{2k}}.

Si f est une fonction complexe 2k + 1 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), on peut majorer le reste (ou « terme d'erreur ») de la formule d'Euler-Maclaurin[7],[8] :

|R_k|\leqslant\frac{2}{(2\pi)^{2k}}\int_p^q\left|f^{(2k+1)}(t)\right|dt.

Si f est une fonction réelle 2k + 2 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont la dérivée d'ordre 2k + 2 est de signe constant[9], le reste a le même signe que le « premier terme négligé[10] » :

R_k\approx\frac{b_{2k+2}}{(2k+2)!}\left(f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right).

De plus on a les majorations suivantes[10] :

|R_k|\leqslant{2}(1-2^{-(2k+2)})\frac{|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|.

et

|R_{k+1}|\leqslant\frac{|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|.

(le reste suivant R_{k+1} n'excède pas (en valeur absolue) le « dernier terme retenu »[11]).

Si f est une fonction réelle 2k + 4 fois continûment dérivable sur le segment [p, q] (avec k ≥ 0), dont les dérivées d'ordre 2k + 2 et 2k + 4 sont de signe constant et de même signe, alors les restes R_k et R_{k+1} sont de signes opposés et le reste R_k est majoré (en valeur absolue) par le premier terme négligé[10] :

 |R_k|\leqslant \frac{|b_{2k+2}|}{(2k+2)!}\left|f^{(2k+1)}(q)-f^{(2k+1)}(p)\right|.

Démonstration[modifier | modifier le code]

On démontre la formule

 R_k = - {1 \over (2k)!}\int_p^q f^{(2k)}(x) B_{2k}(x-\lfloor x \rfloor)~{\rm d}x.

sur l'intervalle [n, n + 1], avec n ∈ ℤ, puis on déduit la formule précédente par sommation sur n ∈ ℤ (pnq – 1).

Application à l'intégration numérique[modifier | modifier le code]

Intégration numérique[modifier | modifier le code]

La formule sommatoire peut être utilisée pour approcher des intégrales par un procédé discret, par exemple dans la méthode des trapèzes ou celle de Romberg, ou à l'inverse pour transformer une somme discrète (finie ou non) et lui appliquer les techniques du calcul infinitésimal.

La formule d'Euler-Maclaurin peut aussi être utilisée pour une estimation précise de l'erreur commise dans le calcul numérique d'une intégrale ; en particulier, c'est sur elle que reposent les méthodes d'extrapolation. La méthode d'intégration de Clenshaw-Curtis (en) est essentiellement un changement de variables ramenant une intégrale arbitraire à l'intégration de fonctions périodiques, pour lesquelles la formule sommatoire est très précise (dans ce cas, elle prend la forme d'une transformée en cosinus discrète).

Formules d'intégration d'Euler-MacLaurin[modifier | modifier le code]

La formule d'Euler-MacLaurin peut s'écrire :

\int_p^q f(x)~{\rm d}x=\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{i=p+1}^{q-1}f\left(
i\right) 
-\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}\left(f^{(2j-1)}(q)-f^{(2j-1)}(p)\right)-R_k

Un simple changement de variable permet d'obtenir une formule analogue pour une fonction définie sur un segment à bornes non entières. Les restes sont donnés avec le « point moyen » \xi\in ]a;b[.

En posant h=\frac{b-a}{N}, on a[12] :

\int_a^b f(x)~{\rm d}x= h\frac{f\left( a\right) +f\left( b\right) }{2}+h\sum_{m=1}^{N-1}f\left(
a+mh\right) -\sum_{j=1}^k\frac{b_{2j}}{(2j)!}h^{2j}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)-(b-a)\frac{b_{2k+2}}{(2k+2)!}f^{(2k+2)}(\xi)h^{2k+2}

Si N = 1, on a une formule où n'interviennent que les extrémités a et b[13] :

\int_a^b f(x)~{\rm d}x=(b-a)\frac{f( a) +f( b)}{2}
-\sum_{j=1}^k\frac{(b-a)^{2j}}{(2j)!} b_{2j}\left(f^{(2j-1)}(b)-f^{(2j-1)}(a)\right)-(b-a)^{2k+3}\frac{b_{2k+2}}{(2k+2)!}f^{(2k+2)}(\xi)

Expressions du reste pour k = 0 (erreur de la méthode des trapèzes)[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

B_0(y)=1,\quad B_1(y)=y-{\textstyle\frac12},\quad B_2(y)=y^2-y+{\textstyle\frac16}..

On pose y=x-\lfloor x \rfloor.

R_0=\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{n=p+1}^{q-1}f\left(
n\right) -\int_p^q f(x)~{\rm d}x

(-R_0) est l'erreur faite en approximant l'intégrale \textstyle\int_n^{n+1} f(x)~{\rm d}x\approx \frac{f(n)+f(n+1)}2 par la méthode des trapèzes sur chaque intervalle [n, n + 1].

Si f est continûment dérivable une fois[14] :

R_0 = \int_p^q f'(x) {B_1(y)}~{\rm d}x = \int_p^q f'(x) (y-{\textstyle\frac12})~{\rm d}x

Si f est une fonction réelle continûment dérivable deux fois[15] :

\begin{align} R_0 =-\frac1{2!} \int_p^q f''(x) ({B_2(y)-\textstyle{\frac16}})~{\rm d}x&= -\frac12\int_p^q f''(x) (y^2-y)~{\rm d}x\\
&=\frac{q-p}{12}f''(\xi).\end{align}

Formule de quadrature et terme d'erreur pour k = 1[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Bernoulli qui interviennent sont[16] :

B_2(y)=y^2-y+{\textstyle\frac16},\quad B_3(y)=y^3-{\textstyle\frac32y^2+\frac12y}=y(y-1)(y-{\textstyle\frac12}),\quad B_4(y)=y^4-2y^3+y^2-{\textstyle\frac1{30}}=(y^2-y)^2-{\textstyle\frac1{30}}.

On pose y=x-\lfloor x \rfloor.

R_1=\frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{n=p+1}^{q-1}f\left(
n\right) -\int_p^q f(x)~{\rm d}x -\frac1{12} (f'(q)-f'(p))

(-R_1) est le terme d'erreur correspondant à la formule de quadrature[17], exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à trois :

\int_p^q f(x)~{\rm d}x \approx \frac{f\left( p\right) +f\left( q\right) }{2}+\sum_{n=p+1}^{q-1}f\left(
n\right) +\frac{f'(p)-f'(q)}{12}

Si f est continûment dérivable deux fois :

 R_1 =-\frac1{2!} \int_p^q f''(x) {B_2(y)}~{\rm d}x = -\frac12\int_p^q f''(x) (y^2-y+{\textstyle\frac16})~{\rm d}x.

Si f est continûment dérivable trois fois :

 R_1 = \frac1{3!}\int_p^q f'''(x) {B_3(y)}~{\rm d}x=\frac16\int_p^q f'''(x) (y^3-{\textstyle\frac32y^2+\frac12y})~{\rm d}x.

Si f est une fonction réelle continûment dérivable quatre fois :

 R_1 =-\frac1{4!} \int_p^q f^{(4)}(x) ({B_4(y)+\textstyle{\frac1{30}}})~{\rm d}x=-\frac1{24}\int_p^q f^{(4)}(x) (y^2-y)^2~{\rm d}x=-\frac{q-p}{720}f^{(4)}(\xi).

Autres applications[modifier | modifier le code]

Le problème de Bâle[modifier | modifier le code]

Le problème de Bâle demandait de déterminer la somme  1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.

Euler calcula cette somme à 20 décimales en utilisant seulement quelques termes de la formule d'Euler-Maclaurin. Ce calcul le convainquit probablement qu'elle valait π2 / 6, résultat qu'il publia en 1735 (mais avec des arguments incorrects ; il lui fallut dix années supplémentaires pour trouver une démonstration rigoureuse)[18].

Sommes polynomiales[modifier | modifier le code]

Article détaillé : formule de Faulhaber.

Si f est un polynôme de degré d et si on applique la formule sommatoire avec p = 0, q = n et k choisi tel que d\leqslant 2k +1, le reste R_k disparaît.

Par exemple, si f(x) = x3, on peut prendre k = 1 pour obtenir,

\sum_{i=0}^{n} i^3=\int_0^n x^3 dx+\frac{0^3+n^3}2+\frac16\frac{3n^2-0}{2!} =\frac{n^4}4+\frac{n^3}2+\frac{n^2}4=\frac{n^4+2n^3+n^2}4=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Développements asymptotiques de sommes[modifier | modifier le code]

Pour déterminer des développements asymptotiques de sommes et de séries, la forme la plus utile de la formule sommatoire est sans doute

\sum_{n=a}^b f(n) \sim \int_a^b f(x)~{\rm d}x+\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{k=1}^\infty \,\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right), \,

a et b sont entiers. Ce développement reste souvent valide même lorsque l'on prend les limites quand a → –∞ ou b → +∞, ou les deux. Dans de nombreux cas, l'intégrale de droite peut être évaluée de manière exacte en termes de fonctions élémentaires, alors que ce n'est pas le cas de la somme ; ainsi

\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^2} \sim \underbrace{\int_0^\infty\frac{1}{(z+k)^2}~{\rm d}k}_{=1/z}+\frac{1}{2z^2}
+\sum_{t=1}^\infty \frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.\,

Ici, le membre de gauche est égal à {\scriptstyle \psi^{(1)}(z)}, c'est-à-dire à la fonction polygamma d'ordre 1 (définie à partir de la fonction Gamma : {\scriptstyle \psi^{(1)}(z)=\frac{d^2}{dz^2}\ln \Gamma(z)}) ; ceci amène à un développement asymptotique de {\scriptstyle \psi^{(1)}(z)}, lequel permet une estimation précise de l'erreur de la formule de Stirling.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. a et b Henri Cohen, Number Theory, volume II : Analytic and modern tools, p. 23. La formule avec son reste est donnée dans le cas, plus général, où les extrémités de l'intervalle sont des nombres réels a et a+N qui diffèrent d'un nombre entier naturel N. Cette formule est un cas particulier d'une formule donnée page 22 où les nombres de bernoulli b_j sont remplacés par les valeurs des polynômes de Bernoulli B_{r}(x-\lfloor x \rfloor) aux extrémités a et b.
  2. Gerald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 2008, p. 23.
  3. Jean-Etienne Rombaldi, Interpolation et Approximation, éd. Vuibert, p. 527.
  4. Hardy 1949, p. 325.
  5. Paul Deheuvels, L'Intégrale, PUF, 1980, p. 185-187 et p. 195.
  6. Jean Dieudonné, Calcul infinitésimial, Hermann, p. 301. Dieudonné note B_k les coefficients |b_{2k}|.
  7. Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, Paris, 1980, p. 304.
  8. N. Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, p. VI.20 donne la majoration |R_k|\leqslant\frac{4\mathrm{e}^{2\pi}}{(2\pi)^{2k+1}}\int_p^q\left|f^{(2k+1)}(t)\right|dt.
  9. Selon Bourbaki, Fonctions d'une variable réelle, p. VI.26, il suffit que f soit 2k + 1 fois dérivable et que la dérivée d'ordre 2k + 1 soit monotone.
  10. a, b et c Henri Cohen, Number Theory, volume II, Analytic and modern tools, Springer Verlag, p. 25.
  11. Gerald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, 2008, p. 26.
  12. Jean-Etienne Rombaldi, Interpolation et Approximation, éd. Vuibert, p. 330.
  13. Paul Deheuvels, L'Intégrale, PUF, 1980, p. 188.
  14. Hardy 1949, p. 318.
  15. Hardy 1949, p. 319.
  16. Paul Deheuvels, L'intégrale, éd. PUF, collection mathématiques, p. 189. Noter que dans la notation de Deheuvels, les nombres de Bernoulli sont considérés sans leur signe (B_{2k}=|b_{2k}|).
  17. Jean-Etienne Rombaldi, Interpolation et approximation, éd. Vuibert, p. 328
  18. (en) David J. Pengelley, « Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula », dans Robert Bradley et Ed Sandifer, Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society,‎ 2003 (lire en ligne).

Références[modifier | modifier le code]