En mathématiques, la formule d'Abel-Plana est une formule de sommation découverte indépendamment par Niels Henrik Abel (en 1823) et Giovanni Antonio Amedeo Plana (en 1820). Elle établit que [ 1]
∑
n
=
0
+
∞
f
(
a
+
n
)
=
∫
a
+
∞
f
(
x
)
d
x
+
f
(
a
)
2
+
∫
0
∞
f
(
a
−
i
x
)
−
f
(
a
+
i
x
)
i
(
e
2
π
x
−
1
)
d
x
{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f(a+n)=\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x+{\frac {f(a)}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a-\mathrm {i} x)-f(a+\mathrm {i} x)}{\mathrm {i} \left(\mathrm {e} ^{2\pi x}-1\right)}}\mathrm {d} x}
Pour le cas
a
=
0
{\displaystyle a=0}
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
=
1
2
f
(
0
)
+
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
+
i
∫
0
+
∞
f
(
i
t
)
−
f
(
−
i
t
)
e
2
π
t
−
1
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x+\mathrm {i} \int _{0}^{+\infty }{\frac {f(\mathrm {i} t)-f(-\mathrm {i} t)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\,\mathrm {d} t.}
Cette formule est vraie pour les fonctions ƒ qui sont holomorphes dans la région Re(z ) ≥ 0, et satisfaire une condition de croissance appropriée dans cette région ; par exemple, il suffit de supposer que |ƒ | est borné par C /|z |1+ε C , ε > 0, bien que la formule soit également valable sous des limites beaucoup plus faibles (Olver 1997 , p.290).
Un exemple est fourni par la fonction zêta de Hurwitz :
ζ
(
s
,
α
)
=
∑
n
=
0
+
∞
1
(
n
+
α
)
s
=
α
1
−
s
s
−
1
+
1
2
α
s
+
2
∫
0
∞
sin
(
s
arctan
t
α
)
(
α
2
+
t
2
)
s
2
d
t
e
2
π
t
−
1
,
{\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}},}
qui est vérifiée pour tout
s
∈
C
−
{
1
}
{\displaystyle s\in \mathbb {C} -\{1\}}
Abel a également donné la variation suivante pour les séries alternées :
∑
n
=
0
+
∞
(
−
1
)
n
f
(
n
)
=
1
2
f
(
0
)
+
i
∫
0
+
∞
f
(
i
t
)
−
f
(
−
i
t
)
2
sinh
(
π
t
)
d
t
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\mathrm {i} \int _{0}^{+\infty }{\frac {f(\mathrm {i} t)-f(-\mathrm {i} t)}{2\sinh(\pi t)}}\,\mathrm {d} t,}
qui est lié à la formule de sommation de Lindelöf [ 2]
∑
k
=
m
+
∞
(
−
1
)
k
f
(
k
)
=
(
−
1
)
m
∫
−
∞
+
∞
f
(
m
−
1
2
+
i
x
)
d
x
2
cosh
(
π
x
)
.
{\displaystyle \sum _{k=m}^{+\infty }(-1)^{k}f(k)=(-1)^{m}\int _{-\infty }^{+\infty }f\left(m-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} x\right){\frac {\mathrm {d} x}{2\cosh(\pi x)}}.}
Soit
f
{\displaystyle f}
ℜ
(
z
)
≥
0
{\displaystyle \Re (z)\geq 0}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
f
(
z
)
=
O
(
|
z
|
k
)
{\displaystyle f(z)=O(|z|^{k})}
arg
(
z
)
∈
]
−
β
,
β
[
{\displaystyle \operatorname {arg} (z)\in ]-\beta ,\beta [}
f
(
z
)
=
O
(
|
z
|
−
1
−
δ
)
{\displaystyle f(z)=O(|z|^{-1-\delta })}
a
=
e
i
β
/
2
{\displaystyle a=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta /2}}
théorème des résidus
∫
a
−
1
∞
0
+
∫
0
a
∞
f
(
z
)
e
−
2
i
π
z
−
1
d
z
=
−
2
i
π
∑
n
=
0
∞
Res
z
=
n
(
f
(
z
)
e
−
2
i
π
z
−
1
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
.
{\displaystyle \int _{a^{-1}\infty }^{0}+\int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z=-2\mathrm {i} \pi \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {Res} _{z=n}\left({\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }f(n).}
Alors
∫
a
−
1
∞
0
f
(
z
)
e
−
2
i
π
z
−
1
d
z
=
−
∫
0
a
−
1
∞
f
(
z
)
e
−
2
i
π
z
−
1
d
z
=
∫
0
a
−
1
∞
f
(
z
)
e
2
i
π
z
−
1
d
z
+
∫
0
a
−
1
∞
f
(
z
)
d
z
=
∫
0
∞
f
(
a
−
1
t
)
e
2
i
π
a
−
1
t
−
1
d
(
a
−
1
t
)
+
∫
0
∞
f
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a^{-1}\infty }^{0}{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2i\pi z}-1}}\,\mathrm {d} z&=-\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z+\int _{0}^{a^{-1}\infty }f(z)\,\mathrm {d} z\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a^{-1}t)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi a^{-1}t}-1}}\,\mathrm {d} (a^{-1}t)+\int _{0}^{\infty }f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
En utilisant le théorème intégral de Cauchy pour la dernière intégrale
∫
0
a
∞
f
(
z
)
e
−
2
i
π
z
−
1
d
z
=
∫
0
∞
f
(
a
t
)
e
−
2
i
π
a
t
−
1
d
(
a
t
)
,
{\displaystyle \int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(at)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi at}-1}}\,\mathrm {d} (at),}
obtenant ainsi
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
=
∫
0
∞
(
f
(
t
)
+
a
f
(
a
t
)
e
−
2
i
π
a
t
−
1
+
a
−
1
f
(
a
−
1
t
)
e
2
i
π
a
−
1
t
−
1
)
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {a\,f(at)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi at}-1}}+{\frac {a^{-1}f(a^{-1}t)}{\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi a^{-1}t}-1}}\right)\,\mathrm {d} t.}
Cette identité reste vraie par prolongement analytique partout où l'intégrale converge, donc en faisant tendre
a
→
i
{\displaystyle a\to \mathrm {i} }
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
=
∫
0
∞
(
f
(
t
)
+
i
f
(
i
t
)
−
i
f
(
−
i
t
)
e
2
π
t
−
1
)
d
t
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {\mathrm {i} \,f(\mathrm {i} t)-\mathrm {i} \,f(-\mathrm {i} t)}{\mathrm {e} ^{2\pi t}-1}}\right)\,\mathrm {d} t.}
Le cas ƒ (0) ≠ 0
∫
a
−
1
∞
a
∞
f
(
z
)
e
−
2
i
π
z
−
1
d
z
{\textstyle \int _{a^{-1}\infty }^{a\infty }{\frac {f(z)}{\mathrm {e} ^{-2\mathrm {i} \pi z}-1}}\,\mathrm {d} z}
En développant sous forme de série entière le terme
1
e
2
π
z
−
1
{\textstyle {\frac {1}{{\rm {e}}^{2\pi z}-1}}}
formule d'Euler-Maclaurin .
La formule d'Abel-Plana a été utilisée comme alternative à la formule d'Euler-Maclaurin dans le calcul de séries divergentes , notamment celles apparaissant dans l'électrodynamique quantique [ 3]
↑ Charles Hermite, « Extrait de quelques lettres de M. Ch. Hermite à M. S. Píncherle », Annali di Matematica Pura ed Applicata , vol. III, no 5, 1901 , p. 57–72 ↑ Gradimir V. Milovanovic, « Summation Formulas of Euler-Maclaurin and Abel-Plana: Old and New Results and Applications ↑ (en) Aram A. Saharian, « The generalized Abel-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect », preprint 2000 (DOI 10.48550/arXiv.0708.1187 N. H. Abel , Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies , 1823 (en) P. L. Butzer , P. J. S. G. Ferreira , G. Schmeisser et R. L. Stens , « The summation formulae of Euler–Maclaurin, Abel–Plana, Poisson, and their interconnections with the approximate sampling formula of signal analysis », Results in Mathematics vol. 59, no 3, 2011 , p. 359–400 (ISSN 1422-6383 DOI 10.1007/s00025-010-0083-8 MR 2793463 S2CID 54634413 (en) Frank William John Olver , Asymptotics and special functions , Wellesley, MA, A K Peters Ltd., coll. « AKP Classics », 1997 (1re éd. 1974) (ISBN 978-1-56881-069-0 MR 1429619 G. A. A. Plana , « Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites », Mem. Accad. Sci. Torino , vol. 25, 1820 , p. 403–418 (en) Jonathan Dowling, « The Mathematics of the Casimir effect février 1987 
![{\displaystyle \operatorname {arg} (z)\in ]-\beta ,\beta [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace14ae98eb3fcc7799a299956b2e5ddcdf1eb3c)
