Fonction gaussienne

Fonction gaussienne pour μ = 0, σ = 1 ; courbe centrée en zéro

Une fonction gaussienne est une fonction en exponentielle de l'opposé du carré de l'abscisse (une fonction en $\exp(-x^{2})$). Elle a une forme caractéristique de courbe en cloche.

L'exemple le plus connu est la densité de probabilité de la loi normale

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\,\pi }}}}\,\mathrm {e} ^{\displaystyle -{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

où μ est l'espérance mathématique et σ est l'écart type.

Propriétés des fonctions gaussiennes

La largeur à mi-hauteur (FWHM, full width at half maximum) H vaut

$H=2{\sqrt {2\,\ln(2)}}\ \sigma \simeq 2,3548\sigma$

la demi largeur à mi-hauteur vaut donc environ 1,177·σ.

Les fonctions gaussiennes sont analytiques, de limite nulle en l'infini.

S'il est aisé de calculer les dérivées d'une fonction gaussienne, on ne peut pas écrire ses primitives à l'aide des fonctions élémentaires (c'est une conséquence d'un théorème de Liouville) ; on les exprime à l'aide de la fonction d'erreur. On peut cependant calculer l'intégrale d'une gaussienne sur la droite réelle, par l'intégrale de Gauss :

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}$

et, de manière générale :

$\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}}\,\mathrm {d} x=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.$

Ainsi, cette intégrale vaut 1 si et seulement si a = 1/(c√(2π)), et alors, la gaussienne a les propriétés d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance μ = b et de variance σ² = c².

Les fonctions gaussiennes centrées en 0 minimisent le principe d'incertitude de Fourier.

Le produit de deux gaussiennes est une gaussienne, et le produit de convolution de deux gaussiennes est encore une gaussienne, avec $c={\sqrt {c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}}$.

Comme la fonction gaussienne est une fonction propre de la transformée de Fourier continue, on obtient par la formule sommatoire de Poisson :

$\sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp(-\pi \cdot (kc)^{2})$

Fonction gaussienne en deux dimensions

Une courbe gaussienne en deux dimensions, d'équation $f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}.$

En deux dimensions, la fonction en exponentielle peut être toute forme quadratique définie négative. On en déduit que toute courbe d'iso-valeurs sera une ellipse.

Une forme particulière de fonction gaussienne 2D est :

$f(x,y)=Ae^{-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)}.$

où A est l'amplitude, x₀,y₀ est le centre et σ_x, σ_y définissent l'écartement selon x et y.

De manière générale, une fonction gaussienne 2D sera de la forme :

$f(x,y)=Ae^{-\left(a(x-x_{o})^{2}+2b(x-x_{o})(y-y_{o})+c(y-y_{o})^{2}\right)}$

où la matrice

$\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]$

sera définie positive.

Signification des coefficients

En reprenant les notations de la forme générale, on remarque que A désigne la hauteur du sommet de la courbe, et (x₀, y₀) ses coordonnées.

En définissant :

$a={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{y}^{2}}}$

$b=-{\frac {\sin(2\theta )}{4\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\sin(2\theta )}{4\sigma _{y}^{2}}}$

$c={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{y}^{2}}}$

alors la cloche tourne dans le sens horaire d'un angle $\theta$ (pour le sens trigonométrique, il suffit de prendre l'opposé de b). On peut le voir dans les exemples suivants :

$\theta =0$

$\theta =\pi /6$

$\theta =\pi /3$

Applications

Les fonctions gaussiennes sont très utilisées en physique. En effet, nombre de phénomènes physiques suivent une distribution de type gaussien, expliqué par le théorème de la limite centrale. L'intérêt des fonctions gaussiennes en physique est également dû à certaines de leurs propriétés mathématiques remarquables. Par exemple, la transformée de Fourier d'une fonction gaussienne est une fonction gaussienne, ce qui entraîne notamment le fait que les faisceaux lasers sont des faisceaux gaussiens.

Référence

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gaussian function » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Intégrale de Gauss
• Loi normale
• Autres courbes en cloche :
  • Fonction lorentzienne
  • Fonction de Voigt