Largeur à mi-hauteur

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Largeur à mi-hauteur (FWHM).

Une largeur à mi-hauteur, sous-entendu du maximum du pic (ou LMH, acronyme rarement utilisé), en anglais full width at half maximum abrégé en FWHM, est une expression de l'amplitude d'une fonction, donnée par la différence entre les deux valeurs extrêmes de la variable indépendante pour lesquelles la variable dépendante est égale à la moitié de sa valeur maximale.

La largeur à mi-hauteur est appliquée à des phénomènes tels que la durée des pulsations cardiaques, les largeurs spectrales des sources utilisées pour les communications optiques ou la résolution des spectromètres.

Le terme de durée à mi-hauteur (en anglais full duration at half maximum, FDHM) est préféré quand la variable indépendante est le temps.

Lorsque la fonction considérée est la distribution normale de la forme :

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi} } \exp \left[ -\frac{(x-x_0)^2}{2 \sigma^2} \right]

\sigma est l'écart type et x_0 une valeur quelconque (la largeur de la fonction est indépendante vis-à-vis de la translation).

La relation entre largeur à mi-hauteur et écart type s'écrit :

\mathrm{FWHM} =   2 \sqrt{2 \ln (2) } \; \sigma = \sqrt{\ln(256)} \; \sigma \approx 2,355 \; \sigma

Une autre fonction importante, liée aux solitons en optique est la sécante hyperbolique :

f(x)=\operatorname{sech} \left( \frac{x}{X} \right)

La translation n'affectant pas la largeur à mi-hauteur, elle n'est pas prise en compte. Pour cette impulsion, nous avons :

\mathrm{FWHM} =   2 \; \operatorname{arsech} \left( \frac{1}{2} \right) X = 2 \ln (2 + \sqrt{3}) \; X \approx 2,634 \; X

arsech est l'argument sécante hyperbolique.

Références[modifier | modifier le code]