Espace de de Sitter

En mathématiques, l’espace de de Sitter est un espace maximalement symétrique en quatre dimensions de courbure positive en signature $(-,+,+,+)\,$. Il généralise en ce sens la 4-sphère au-delà de la géométrie euclidienne.

Le nom vient de Willem de Sitter. La dimension 4 est très utilisée car elle correspond à la relativité générale. En fait, il existe^{[réf. à confirmer]} en dimension entière $n;n\geq 1$.

Un espace de de Sitter 2 (hyperboloïde à une nappe). La coordonnée temporelle est verticale.

Construction

On peut définir l'espace de de Sitter comme une sous-variété d'un espace de Minkowski généralisé à une dimension supplémentaire. Considérons l'espace de Minkowski R^1,n muni de la métrique standard :

$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.$

L'espace de de Sitter est la sous-variété décrite par l'hyperboloïde à une nappe

$-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2}$

où $\alpha$ est une constante non nulle. La métrique dans un espace de de Sitter est celle induite par la métrique de Minkowski ambiante. Elle est non dégénérée, de signature lorentzienne. (Remarque : si l'on remplace $\alpha ^{2}$ par $-\alpha ^{2}$ dans la définition ci-dessus, on obtient un hyperboloïde à deux nappes. La métrique induite est dans ce cas définie positive, et chaque nappe constitue un exemplaire d'un espace hyperbolique de dimension n. Pour une démonstration détaillée, voir géométrie de l'espace de Minkowski.)

Topologiquement, l'espace de de Sitter est R × Sⁿ⁻¹ (de telle sorte que, si n ≥ 3 alors l'espace de de Sitter est simplement connexe).

Propriétés

Le groupe d'isométrie de l'espace de de Sitter est le groupe de Lorentz O(1, n). La métrique possède donc n(n + 1)/2 vecteurs de Killing indépendants et possède une symétrie maximale. Tout espace à symétrie maximale a une courbure constante. Le tenseur de courbure de Riemann est donné par

$R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }).$

L'espace de de Sitter est une variété d'Einstein puisque le tenseur de courbure de Ricci est proportionnel à la métrique :

$R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }$

Cela signifie que l'espace de de Sitter est solution des équations d'Einstein dans le vide, pour une constante cosmologique

$\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.$

La courbure scalaire de l'espace de de Sitter vaut :

$R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .$

Dans le cas n = 4, on obtient Λ = 3/α² et R = 4Λ = 12/α².

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « de Sitter space » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Espace anti de Sitter
• Univers de de Sitter
• Inflation cosmique