Espace anti de Sitter

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En mathématiques et en physique, l'espace anti de Sitter n-dimensionnel, noté \mathrm{AdS}_n, est l'analogue lorentzien de l'espace hyperbolique n-dimensionnel. Il est pourvu d'une symétrie maximale et est une variété lorentzienne avec une courbure scalaire négative constante.

Dans le langage de la relativité générale, l'espace anti de Sitter est une solution de vide à l'équation de champ d'Einstein avec une constante cosmologique \Lambda négative.

L'espace anti de Sitter est la courbure analogue négative de l'espace de Sitter, nommée ainsi en l'honneur de Willem de Sitter. Il est utilisé dans la correspondance AdS/CFT.

Définitions et propriétés[modifier | modifier le code]

L'espace anti de Sitter peut être défini comme une sous-variété de R^{2, n-1} en codimension 1. Prenons l'espace R^{2, n-1} avec la métrique standard :

\mathrm ds^2 = -\mathrm dx_0^2 -\mathrm dx_1^2 +\sum_{i=2}^n\mathrm dx_i^2.

L'espace anti de Sitter est la sous-variété décrite par l'hyperboloïde

-x_0^2 -x_1^2+ \sum_{i=2}^n x_i^2 = -\alpha^2

\alpha est une sorte de constante non-nulle avec des dimensions de longueur. La métrique sur l'espace anti de Sitter est la métrique induite par la métrique ambiante. On peut vérifier que la métrique induite n'est pas dégénérée et a la signature lorentzienne.

L'espace anti de Sitter peut aussi être défini comme le quotient O(2, n-1)/O(1, n-1) de deux groupes orthogonaux indéfinis, ce qui montre que c'est un espace symétrique non-riemannien.

L'espace de Sitter n-dimensionnel a O(n-1,2) comme groupe isométrique. Il n'est pas simplement connexe ; il est homéomorphe au produit S^1 \times R^{n-1}, donc son groupe fondamental est l'ensemble des nombres entiers, et il a un revêtement universel contractile. L'espace-temps anti de Sitter a des temps fermés comme des boucles, contrairement a son revêtement universel qui n'en a pas. Certains auteurs utilisent l'espace anti de Sitter pour se réferer au revêtement universel simplement connexe.

L'espace anti de Sitter comme espace homogène et symétrique[modifier | modifier le code]

De la même manière que la sphère S^2=\tfrac{ O(3) }{ O(2) }, l'espace anti de Sitter peut être vu comme un quotient de deux groupes \mathrm{AdS}_n=\tfrac{ O(2,n-1) }{ O(1,n-1) }. Cette formulation du quotient donne à \mathrm{AdS}_n une structure d'espace homogène. L'algèbre de Lie de O(1,n) est donnée par les matrices


\mathcal{H}= \begin{pmatrix}
   \begin{matrix}
    0&0\\
    0&0
   \end{matrix}
            & \begin{pmatrix}
		       \cdots 0\cdots\\
			  \leftarrow {}^t\!v\rightarrow
             \end{pmatrix}\\
  \begin{pmatrix}	 
    \vdots & \uparrow\\
     0  & v \\
    \vdots & \downarrow
  \end{pmatrix} & B
 \end{pmatrix}
,

B est une matrice diagonale symétrique. Une complémentarité dans l'algèbre de Lie de \mathcal{G}=O(2,n) est

 
\mathcal{Q}=
 \begin{pmatrix}
   \begin{matrix}
    0&a\\
    -a&0
   \end{matrix}
            & \begin{pmatrix}		       
			 \leftarrow {}^t\!w\rightarrow \\
			   \cdots 0\cdots\\
             \end{pmatrix}\\
  \begin{pmatrix}	 
   \uparrow  & \vdots\\
     w   & 0\\
   \downarrow & \vdots 
  \end{pmatrix} & 0
 \end{pmatrix}
.

Ces deux \mathcal{G}=\mathcal{H}\oplus\mathcal{Q} accomplis, la supputation explicite de la matrice montre que [\mathcal{H},\mathcal{Q}]\subseteq\mathcal{Q}, \quad [\mathcal{Q},\mathcal{Q}]\subseteq\mathcal{H}. Donc, l'espace anti de Sitter est un espace homogène.

Voir aussi[modifier | modifier le code]