Signature (logique)

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En calcul des prédicats et en algèbre universelle, une signature est une liste de symboles de constante, fonction et de relation, chacun ayant une arité, qui est un entier naturel indiquant le nombre d'arguments (un symbole de constante peut-être vu comme un symbole de fonction d'arité 0). La signature fournit les éléments primitifs pour la construction d'un langage du premier ordre (égalitaire en général) sur cette signature. En calcul des prédicats à plusieurs types d'objet et en théorie des types, chaque symbole possède un type (l'arité n'est pas suffisante).

En calcul des prédicats, il est courant d'appeler langage, la signature[1] (un langage du premier ordre au sens large, c'est-à-dire l'ensemble des formules du premier ordre, est en effet caractérisé par sa signature).

Par exemple la signature (+,-,0), symboles de fonctions d'arité respectivement 2, 2 et 0, permet de définir le langage de la théorie des groupes (au premier ordre).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Cori-Lascar, t I, ch. 3, pp 139-140 de l'édition 1993, définit d'abord en section 1.1 un langage du premier ordre comme comportant une partie commune : variables d'individus, symboles logiques, etc. et une partie variable qui définit le langage et qui est ce que le présent article appelle signature ; dès la section 1.2 le langage est identifié avec cette partie variable (la signature) qui le définit. Toujours dans le même ouvrage, il est précisé que, sauf mention contraire, le langage est supposé par défaut égalitaire, c'est-à-dire que l'égalité fait par défaut partie du langage (au sens large) et a un statut particulier (elle sera toujours interprétée par l'identité dans les modèles). Le signe d'égalité n'apparait donc pas dans la signature. Ces conventions sont courantes en théorie des modèles, voir par exemple David Marker, Model theory : an introduction, Springer 2002.

Bibliographie[modifier | modifier le code]