Courbe du chien

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Courbe suivie par un chien poursuivant son maître qui court en ligne droite.

La courbe du chien est la courbe décrite par un chien cherchant à rejoindre son maître en orientant constamment sa trajectoire dans la direction de celui-ci. On suppose leurs vitesses constantes.

Le modèle s’applique en fait à toute situation de poursuite et d’interception d’une cible et on appelle aussi cette courbe « courbe de poursuite » ou « courbe d’interception »[1]. Elle a des applications dans les systèmes de guidage.

Histoire[modifier | modifier le code]

Première page de l'article de Pierre Bouguer, Mémoires de l'Académie royale des sciences, 1732

Cette courbe plane classique a été étudiée dès le XVIIIe siècle. Paul Nahin indique que l’anecdote souvent répétée selon laquelle Léonard de Vinci aurait étudié de telles courbes dans ses carnets est apparemment sans fondement[2].

La courbe a été étudiée en particulier par Pierre Bouguer[3]qui l’associe au problème de la poursuite d'un vaisseau par un autre.

Cas où la trajectoire du poursuivi est rectiligne[modifier | modifier le code]

Lorsque la trajectoire du poursuivi, appelée aussi ligne ou « courbe de fuite », est une droite, le poursuivant le rattrape si et seulement si sa vitesse est supérieure. En cas de vitesse égale, la ligne de fuite est une asymptote pour la courbe de poursuite. Le problème peut être modélisé par une mise en équation différentielle.

Modélisation du problème[modifier | modifier le code]

Il s’agit d’établir l'équation de la trajectoire que parcourt un chien lorsque son maître, éloigné, l'appelle tout en se déplaçant sur une droite perpendiculairement au segment de droite les séparant à l’instant origine. On conviendra qu'à cet instant, le maître est à une distance « a » du chien ; il se déplace de façon uniforme à la vitesse « v ». Le chien accourt à une vitesse kv et de façon à être, à tout moment, dirigé vers son maître. On peut donc choisir un repère orthonormé, tel que le chien est au point « O » de coordonnées (0,0) et le maître au point « A » de coordonnées (a,0) au départ, la droite décrite par le maître étant celle d’équation x=a. On désigne par « x » et « y » les coordonnées du chien au bout du temps « t ».

Mise en équation[modifier | modifier le code]

Le schéma décrit la situation au moment où le chien est arrivé au point C en suivant la courbe (en noir) depuis l’origine.

Au bout du temps « t », le maître est en « M », tel que AM = vt.

Désignons par « l » l'arc de trajectoire « OC » parcouru par le chien à la vitesse kv. Calculons la pente au point « C »  :

\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} = \tan(\alpha)= \frac{BM}{BC} \,

soit :

\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} = \frac{vt-y}{a-x} \,

D'autre part, au temps t, le chien a parcouru une longueur l = kvt, ce qui donne :

(a-x)\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} +y = \frac{l}{k} \,

avec x \leqslant a.

En dérivant par rapport à x, on obtient :

\left[(a-x)\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x}\right]' = -\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} + (a-x)\frac{{\mathrm d^2} y}{{\mathrm d} x^2}\,

Soit :

-\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} + (a-x)\frac{{\mathrm d^2} y}{{\mathrm d} x^2} +  \frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} = \frac{1}{k} \frac{{\mathrm d} l}{{\mathrm d} x} \,

ou encore (a-x)\frac{{\mathrm d^2} y}{{\mathrm d} x^2} = \frac{1}{k} \frac{{\mathrm d} l}{{\mathrm d} x}\,


En utilisant le fait que {\mathrm d} l^2 = {\mathrm d} x^2+{\mathrm d} y^2 , et en posant y'=\frac{{\mathrm d} y}{{\mathrm d} x} , on obtient finalement l'équation suivante[4] :

(a-x)\frac{{\mathrm d} y'}{{\mathrm d} x} = \frac{1}{k}\sqrt{1+y'^2} \,

Traitement mathématique de l'équation[modifier | modifier le code]

La théorie des équations différentielles peut alors être mise en œuvre pour obtenir la trajectoire.

On obtient finalement l'équation de la trajectoire du chien, si k est différent de 1 :

y = \frac{k(a-x)}{2}\left(\frac{1}{k+1}\left(\frac{a-x}{a}\right)^{\frac{1}{k}}+\frac{1}{1-k}\left(\frac{a-x}{a}\right)^{-\frac{1}{k}}\right)+\frac{ka}{k^2-1} \,.

et si k=1,

y=\frac{x^2-2ax}{4a}+\frac{a}{2}\ln{\frac{a}{a-x}}.

Solution du problème de départ[modifier | modifier le code]

Le chien rattrape son maître lorsque x = a, donc pour  y = \frac{ka}{k^2-1} \,, à condition que cette valeur de y soit positive, donc si et seulement si k>1 (c’est-à-dire si le chien va plus vite que le maître). Il le rattrape alors au temps  t = \frac{ka}{(k^2-1)v} .

Lorsque k=1, c’est-à-dire si le maître et le chien ont même vitesse, le chien ne rattrape pas le maître, la droite verticale de fuite est asymptote à la trajectoire du chien.

La courbe de poursuite[modifier | modifier le code]

Si k n’est pas un nombre rationnel, ou si k=1, la courbe de poursuite est une courbe transcendante. Lorsque k est un nombre rationnel différent de 1, la courbe de poursuite est unicursale[5]. Une paramétrisation est donnée par exemple en posant :

x= a-t^m, \qquad y=\frac{m}{2}t^m \left(\frac{1}{m+n}\frac{t^n}{\sqrt[k]a}+ \frac{1}{n-m}\frac{\sqrt[k]a}{t^n}\right) + \frac{ka}{k^2-1},

k=\frac{m}{n}, m et n étant deux entiers premiers entre eux.

Cas où la trajectoire du poursuivi est circulaire[modifier | modifier le code]

Courbe de poursuite avec trajectoire de fuite circulaire. Le maître se déplace de « Mo » en « M' » et le chien suivant la courbe tracée en rouge et de façon à toujours être orienté vers son maître

Énoncé du problème[modifier | modifier le code]

Il s’agit d’établir l'équation de la trajectoire de poursuite que parcourt un chien lorsque son maître, éloigné, l'appelle tout en se déplaçant sur une trajectoire circulaire. On conviendra que le maître se déplace de façon uniforme à la vitesse « v » et dans le sens trigonométrique. Le chien accourt à une vitesse « kv » et de façon à être, à tout moment, dirigé vers son maître. Au bout du temps « t » on convient que le maître s’est déplacé de « Mo » à « M' », c'est-à-dire d’un angle « ω = vt/r »

Eléments pour la résolution du problème[modifier | modifier le code]

Une méthode consiste en une résolution graphique du problème. Le présent article est rédigé à partir du document du « College of Redwoods »[6]. En raisonnant sur la représentation schématique ci-contre on en déduit :

\overrightarrow{OC'_{(\omega)}} + \overrightarrow{C'M'_{(\omega)}}= \overrightarrow{OM'_{(\omega)}} \,

Avec, en raisonnant dans le plan complexe :

OM'_{(\omega)} = x_m(\omega) + iy_m(\omega) = rcos\omega + irsin\omega
\,


OC'_{(\omega)} = x_c(\omega) + iy_c(\omega) \,

Et donc :

C'M'_{(\omega)} = \overrightarrow{OM'_{(\omega)}} - \overrightarrow{OC'_{(\omega)}} = rcos\omega -  x_c(\omega) + irsin\omega -  iy_c(\omega)
\,


Après développement et en considérant que le maître se déplace à partir du point Mo sur un cercle de rayon unitaire alors :


 x_m = \cos\omega \,
 y_m = \sin\omega \,


On obtient les deux relations suivantes :


\frac{{\mathrm d} x_c}{{\mathrm d} \omega} = k \frac{\cos\omega - x_m}{\sqrt{(\cos\omega - x_m)^2 + (\sin\omega - y_m)^2}}
\,


\frac{{\mathrm d} y_c}{{\mathrm d} \omega} = k \frac{\sin\omega - y_m}{\sqrt{(\cos\omega - x_m)^2 + (\sin\omega - y_m)^2}}
\,

Autres courbes de poursuite[modifier | modifier le code]

Dans la culture[modifier | modifier le code]

  • Le comte de Lautréamont fait allusion à la courbe du chien dans Les Chants de Maldoror : « le grand-duc de Virginie, beau comme un mémoire sur la courbe que décrit un chien en courant après son maître, s'enfonça dans les crevasses d'un couvent en ruines » (Chant V)[7].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. « Courbes remarquables », Revue du Palais de la Découverte, no spécial 8,‎ juillet 1976, p. 113
  2. (en) Paul J. Nahin, Chases and Escapes : The Mathematics of Pursuits and Evasion, Princeton, Princeton University Press,‎ 2012 (1re éd. 2007), 253 p. (ISBN 978-0-691-12514-5 et 978-0-691-15501-2)
  3. Pierre Bouguer, « Sur de nouvelles courbes auxquelles on peut donner le nom de lignes de poursuite », Mémoires de mathématique et de physique tirés des registres de l’Académie royale des sciences,‎ 1732, p. 1-15. L’article suivant, dû à Pierre Louis Moreau de Maupertuis, propose une généralisation à toutes les formes de trajectoires du poursuivi.
  4. Gomes Teixera 1909, p. 255
  5. Gomes Teixera 1909, p. 256
  6. http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/deproj/sp08/mseverdia/pursuit.pdf
  7. Comte de Lautréamont, Les Chants de Maldoror, s. l. [E. Wittmann],‎ 1874 (lire en ligne), « Chant cinquième »

Bibliographie[modifier | modifier le code]